Question

二次函數(shù)y=mx²+（m-2）x-2（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）求點A坐標；
（2）當∠ABC=45°時，①求m的值；②將此拋物線向下平移個單位后，得到拋物線C′，且與x軸的左半軸交于M點，與y軸交于N點，請在拋物線C′上求點P，使得△MNP是以N，M為頂點直角的直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知y=mx ²+（m-2）x-2可化為兩根式y(tǒng)=（mx-2）（x+1），進而得出A點坐標即可；
（2）①當∠ABC=45°時，則△OBC為等腰直角三角形，OB=OC==2，求出m即可；
②使得△MNP是以N，M為頂點直角的直角三角形的兩種情況：一是當PM垂直MN時，二是當PN垂直MN時，分別求出即可．
解答：解：（1）二次函數(shù)y=mx ²+（m-2）x-2可化為兩根式y(tǒng)=（mx-2）（x+1），
則與x軸交點的橫坐標x₁=，x₂=-1，
∵點A在點B的左側(cè)，m＞0，
∴A點坐標為（-1，0）；

（2）①點C坐標可求得為（0，-2），
當∠ABC=45°時，則△OBC為等腰直角三角形，
OB=OC==2，
即m=1，
②二次函數(shù)的解析式為y=x²-x-2；
將二次函數(shù)y=x²-x-2向下平移個單位后，得到拋物線C'，
則拋物線C'的解析式為y=x²-x-，
求得M的坐標為（-，0）、N的坐標為（0，-），
直線MN的解析式為y=-x-，
在拋物線C'上求點P，使得△MNP是以N，M為頂點的直角三角形的兩種情況：
①是當PM垂直MN時，
∵直線MN的解析式為y=-x-，
∴設(shè)直線PM的解析式為：y=x+b，
∵M的坐標為（-，0），
∴×（-）+b=0，解得b=，
∴PM的解析式為：y=x+，
聯(lián)立y=x²-x-，
解得x=，y=，
所以P的坐標為（，）；
二是當PN垂直MN時，
PN的解析式可求得為y=x-，
聯(lián)立y=x²-x-，
解得x=，y=-，
所以P的坐標為（，-）．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及等腰直角三角形的性質(zhì)和函數(shù)交點坐標求法，根據(jù)已知的畫出函數(shù)圖象進而求出是解題關(guān)鍵．