【題目】如圖,在平面直角坐標系中,正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象在第一象限交于點C,△ABC是邊長為3的等邊三角形,且AB邊在x軸額正半軸上,cos∠COA=.
(1)求k,m的值;
(2)點P在射線OC上,且OP=5,動點Q從點P出發(fā)先沿著適當?shù)穆窂竭\動到線段AB中垂線上的點M處,再沿垂直于y軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處,最后沿適當?shù)穆窂竭\動到點A處停止,當點Q的運動路徑最短時,求N點坐標及點Q運動的最短路程;
(3)將△ABC繞點A進行旋轉,在旋轉過程中,設BC所在直線與射線OC相交于點R,與x軸正半軸交于點T,當△ORT為等腰三角形時,求OT的長.
【答案】(1)k=,m=(2)+.(3)OT的長為3+ ﹣或3+或6或3﹣ +.
【解析】
(1)由cos∠COA=,可得∠AOC=30°,求出點C坐標即可解決問題.
(2)如圖2中,作CH⊥AB于H,作PG⊥CH,使得PG=OH,作點A關于y軸的對稱點A′,連接A′G交y軸于N,作NM⊥y軸,交CH于M,此時點Q運動的路徑P→M→N→A最短.
再想辦法求出直線A′G的解析式即可解決問題.
(3)分三種情形討論)①如圖3中,當OR=OT時,作AG⊥BC于G,則AG=,把△ATG放大(如圖4中,在AG上取一點M,使得AM=MT),求出AT即可.②如圖5中,當RO=RT時,作BG⊥AT于G.③如圖6中,當TO=TR時,分別求解即可.
解:(1)如圖1中,作CK⊥AB于K.
∵cos∠COA=,
∴∠AOC=30°,
∵△ABC是等邊三角形,邊長為3,
∴AB=BC=AC=3,∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°,
∴∠BCO=90°,
∴OB=2BC=6,OC=,
∴CK=OC=,OK=CK=,
∴點C坐標(,),分別代入正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=,
可得k=,m=.
(2)如圖2中,作CH⊥AB于H,作PG⊥CH,使得PG=OH,作點A關于y軸的對稱點A′,連接A′G交y軸于N,作NM⊥y軸,交CH于M,此時點Q運動的路徑P→M→N→A最短.理由:PM+MN+NA=PG+NG+A′N,=PG+A′G,∵PG=MN=橋長,A′G是線段,兩點之間線段最短,∴PM+MN+NA最短.
∵OP=,∴點P坐標(,),
∵AH=,
∴PG=MN=OH=,
∴G(3,),∵A′(﹣3,0),
設直線A′G的解析式為y=kx+b,則有,
解得,
∴直線A′N的解析式為y=x+,
∴點N坐標(0,),
∵A′G==,
∴點Q運動的最短路程=A′G+PG=+.
(3)①如圖3中,當OR=OT時,作AG⊥BC于G,則AG=,把△ATG放大(如圖4中,在AG上取一點M,使得AM=MT),
∵∠ATG=75°,∠TAG=15°,
∴∠A=∠MTA=15°,
∴∠TMG=30°,設GT=a,則MT=AM=2a,MG=a,
∴2a+a=,
∴a=3﹣,
∴AT===﹣,
∴OT=3+﹣,
②如圖5中,當RO=RT時,作BG⊥AT于G.
∵RO=RT,
∴∠ROT=∠RTO=30°,
∵∠ABC=60°=∠BAT+∠BTA,
∴∠BAT=∠BTA=30°,
∴BA=BT=3,AG=GT=ABcos30°=,
∴AT=,OT=3+.
③如圖6中,當TO=TR時,
∵TO=TR,
∴∠TOR=∠TRO=30°,
∴∠OTR=120°,∠ATR=60°,
∴T與C重合,
∴OT=OA+AC=6.
④如圖7中,由②可知,當OR=OT時,OT=OA﹣AT=3﹣+.
綜上所述,當△ORT為等腰三角形時,OT的長為3+﹣或3+或6或3﹣+.
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【題目】如圖所示,某校九年級(3)班的一個學習小組進行測量小山高度的實踐活動.部分同學在山腳A點處測得山腰上一點D的仰角為30°,并測得AD的長度為180米.另一部分同學在山頂B點處測得山腳A點的俯角為45°,山腰D點的俯角為60°,請你幫助他們計算出小山的高度BC.(計算過程和結果都不取近似值)
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【題目】快車和慢車同時從甲地出發(fā),以各自的速度勻速向乙地行駛,快車到達乙地后停留了45分鐘,立即按原路以另一速度勻速返回,直至與慢車相遇.已知慢車的速度為60千米/時,兩車之間的距離y(千米)與貨車行駛時間x(小時)之間的函數(shù)圖象如圖所示,則快車從乙地返回時的速度為__________千米/時
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【題目】某餐廳計劃購買12張餐桌和一批椅子(不少于12把),現(xiàn)從甲、乙兩商場了解到同一型號的餐桌報價都為每張200元,餐椅報價都為每把50元.甲商場規(guī)定:每購買一張餐桌贈送一把餐椅;乙商場規(guī)定:所有餐桌、餐椅均按報價的八五折銷售,那么,什么情況下到甲商場購買更優(yōu)惠.
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【題目】如圖,在直角坐標系中,矩形OABC的頂點O與坐標原點重合,頂點A,C分別在坐標軸上,頂點B的坐標為(4,2),過點D(0,3)和E(6,0)的直線分別與AB,BC交于點M,N.
(1)求直線DE的解析式和點M的坐標;
(2)若反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點M,在該反比例函數(shù)的圖象上是否存在一點P,使△PMN的面積等于△OMN的面積的一半,若存在,求點P的坐標,若不存在,請說明理由.
(3)若反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與△MNB有公共點,請直接寫出m的取值范圍.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,內(nèi)部有6個全等的正方形,小正方形的頂點E、F、G、H分別在邊AD、AB、BC、CD上,則tan∠DEH=( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,點A是雙曲線y=﹣在第二象限分支上的一個動點,連接AO并延長交另一分支于點B,以AB為底作等腰△ABC,且∠ACB=120°,點C在第一象限,隨著點A的運動,點C的位置也不斷變化,但點C始終在雙曲線y=上運動,則k的值為_____.
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【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CD與AB相交,∠BAC=40°.
(1)如圖1,若D為弧AB的中點,求∠ABC和∠ABD的度數(shù);
(2)如圖2,過點D作⊙O的切線,與AB的延長線交于點P,若DP∥AC,求∠OCD的度數(shù).
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