【題目】ABC中,∠BAC=45°,CDAB于點D,AEBC于點E,連接DE

(1)如圖1,當ABC為銳角三角形時,

①依題意補全圖形,猜想∠BAE與∠BCD之間的數(shù)量關系并證明;

②用等式表示線段AE,CEDE的數(shù)量關系,并證明;

(2)如圖2,當∠ABC為鈍角時,依題意補全圖形并直接寫出線段AE,CEDE的數(shù)量關系.

【答案】1)①補全圖形,如圖1所示.見解析;猜想:∠BAE=BCD. 理由見解析;②見解析;(2)補全圖形,如圖3所示. 見解析;線段AE,CE,DE的數(shù)量關系:CE-DE=AE.

【解析】

(1)①依題意補全圖形,由直角三角形的性質得出∠BAE﹢∠B=90°,

BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=BCD;

②在AE上截取AF=CE,可證出△ACD是等腰直角三角形,得出AD=CD,可證明△ADF≌△CDE,得出DF=DE, ADF=CDE可推出∠CDE﹢∠FDC=EDF=90°.證出△EDF是等腰直角三角形,得出EF=,即可得出結論;

(2) CE上截取CF=AE,連接DFCDAD,AEBC,可得∠EAD=DCF

由∠BAC=45°可得AD=CD,可證△ADE≌△CDF,可得ED=DFADE=CDF,可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故 ,即可得線段AE,CEDE的數(shù)量關系.

1)①依題意,補全圖形,如圖1所示.

猜想:∠BAE=BCD.

理由如下:

CDAB,AEBC

∴∠BAE﹢∠B=90°,

BCD﹢∠B=90°.

∴∠BAE=BCD.

②證明:如圖2,在AE上截取AF=CE.

連接DF.

∵∠BAC=45°,CDAB,

∴△ACD是等腰直角三角形.

AD=CD.

又∠BAE=BCD,

∴△ADF≌△CDESAS.

DF=DE, ADF=CDE.

ABCD,

∴∠ADF﹢∠FDC=90°.

∴∠CDE﹢∠FDC=EDF=90°.

∴△EDF是等腰直角三角形.

EF=.

AF+EF=AE,

CE+DE=AE.

2)依題意補全圖形,如圖3所示.

CE上截取CF=AE,連接DF

CDADAEBC

∴∠ADC=AEC=90°

∴∠EAB+ABE=90°,∠DBC+DCF=90°,∠ABE=CBD

∴∠EAD=DCF

∵∠BAC=45°

∴∠DCA=45°

AD=CD

又∵CF=AE

∴△ADE≌△CDF

ED=DF

ADE=CDF

∵∠CDF+ADF=90°

∴∠ADE+ADF=90°

∴∠EDF=90°

∴△EDF是等腰直角三角形

CE=CF+EF

∴線段AE,CE,DE的數(shù)量關系:CE-DE=AE.

故答案為:CE-DE=AE

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③連接CB并延長交于點Q.

④作直線PQ

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根據(jù)小石設計的尺規(guī)作圖的過程.

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.

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