Question

【題目】△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△EDF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：△BPE≌△CQE；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：△BPE∽△CEQ；

（3）在（2）的條件下，BP=2，CQ=9，則BC的長(zhǎng)為_______．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）由AB=AC，AP=AQ可得BP=CQ，又因BE=CE，∠B=∠C=45°，利用“SAS”判定△BPE≌△CQE；

（2）如下圖，連接PQ，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，所以∠BEP=∠EQC；再由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△BPE∽△CEQ；

（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，把BP=2，CQ=代入上式可求得BE=CE，進(jìn)而求得BC的長(zhǎng)．

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°，AB=AC，

∵AP=AQ，

∴BP=CQ，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE，

在△BPE和△CQE中，

∵，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）如下圖，連接PQ，

∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，

即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，

∴∠BEP=∠EQC，

∴△BPE∽△CEQ；

（3）∵△BPE∽△CEQ

∴

∵BP=2，CQ=9，BE=CE

∴

∴BE=CE=

∴BC=．