Question

數(shù)學(xué)課上，小軍把一個(gè)菱形通過旋轉(zhuǎn)且每次旋轉(zhuǎn)120°后得到甲的圖案．第一次旋轉(zhuǎn)后小軍把圖形放在直角坐標(biāo)系中（如圖乙所示），若菱形ABCO的∠AOC=60°，A（2，0），
（1）填空：點(diǎn)A₁與點(diǎn)C關(guān)于

O

對(duì)稱，且A₁ （

-1

，

3

），點(diǎn)C（

1

，

-

3

）
（2）請(qǐng)你在乙圖中畫出小軍第二次旋轉(zhuǎn)后的得到的菱形A₂B₂C₂O．
（3）請(qǐng)你求出第二次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₂，B₂，C₂的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)D，由菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)的知識(shí)，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得點(diǎn)A₁與點(diǎn)C關(guān)于O對(duì)稱，則可求得A₁的坐標(biāo)；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可作出菱形A₂B₂C₂O．
（3）由（1），可求得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，由對(duì)稱性可得點(diǎn)A₂，B₂，C₂的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)D，
∵菱形ABCO的∠AOC=60°，A（2，0），
∴OC=OA=2，
∴OD=OC•cos30°=1，CD=OC•sin30°=

3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（1，-

3

），
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁OA=120°，
∴∠A₁OC=120°+60°=180°，
∴點(diǎn)A₁與點(diǎn)C關(guān)于O對(duì)稱，且A₁ （-1，

3

）；
故答案為：O，（-1，

3

），（1，-

3

）；

（2）如圖，菱形A₂B₂C₂O即為所求；

（3）∵菱形OABC中，點(diǎn)A（2，0），C（1，-

3

），
∴B（3，-

3

），
∵菱形A₂B₂C₂O與菱形CBAO關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴A₂的坐標(biāo)為：（-1，-

3

），B₂的坐標(biāo)為：（-3，-

3

），C₂的坐標(biāo)為：（-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．