Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F為上一點，BF交CD于G，點H在CD的延長線上，且FH＝GH．

（1）求證：FH與⊙O相切．

（2）若FH＝OA＝5，FG＝3，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】

（1）連接OF，通過角之間的等量代換證明∠OFH為90°，即可得FH與⊙O相切；
（2）連接AF，作HK⊥FG于K，由FH=GH，利用等腰三角形的三線合一，可求KG，進而得出sin∠EBG等于sin∠KHG，求出AF，在直角三角形AFG中，利用勾股定理可求得AG的長．

（1）證明：連接OF，

∵FH＝GH．

∴∠GFH＝∠FGH，

∵∠FGH＝∠BGE，

∴∠GFH＝∠BGE，

∵OB＝OF，

∴∠B＝∠BFO，

∵AB⊥CD，

∴∠B+∠BGE＝90°，

∴∠BFO+∠GFH＝90°，即∠OFH＝90°，

∴FH與⊙O相切；

（2）解：連接AF，作HK⊥FG于K，

∵HF＝HG，HK⊥FG，

∴FK＝KG＝，

∵HF＝HG，FH＝OA＝5，

∴HF＝HG＝5，

∵∠BEG＝∠HKG＝90°，∠BGE＝∠HGK，

∴∠EBG＝∠KHG，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AFB＝90°，

∴sin∠EBG＝sin∠KHG＝÷5＝，

∴AF＝，

∴在直角三角形AFG中，AG＝＝6．

∴AG的長為6．