【題目】如圖，點(diǎn)C是半圓O上的一點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，D是的中點(diǎn)，作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F，求證：AF=DF.

下面是小明的做法，請(qǐng)幫他補(bǔ)充完整（包括補(bǔ)全圖形）

解：補(bǔ)全半圓O為完整的⊙O，連接AD，延長DE交⊙O于點(diǎn)H（補(bǔ)全圖形）

∵D是的中點(diǎn)，

∴.

∵DE⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴（ ）（填推理依據(jù)）

∴

∴∠ADF=∠FAD（ ）（填推理依據(jù)）

∴AF=DF（ ）（填推理依據(jù)）

【答案】垂徑定理，等弧所對(duì)的圓周角相等，等角對(duì)等邊．

【解析】

利用圓周角定理以及垂徑定理證明∠ADF=∠FAD即可解決問題．

補(bǔ)全半圓O為完整的⊙O，連結(jié)AD，延長DE交⊙O于點(diǎn)H（補(bǔ)全圖形）．

∵D是的中點(diǎn)，

∴.

∵DE⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴（垂徑定理）

∴

∴∠ADF=∠FAD（等弧所對(duì)的圓周角相等）

∴AF=DF（等角對(duì)等邊）

故答案為：垂徑定理，等弧所對(duì)的圓周角相等，等角對(duì)等邊．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知⊙O經(jīng)過四邊形ABCD的B、D兩點(diǎn)，并與四條邊分別交于點(diǎn)E、F、G、H，且．

（1）如圖①，連接BD，若BD是⊙O的直徑，求證：∠A＝∠C；

（2）如圖②，若的度數(shù)為θ，∠A＝α，∠C＝β，請(qǐng)直接寫出θ、α和β之間的數(shù)量關(guān)系．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△OAB，△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°.

（1）若O、C、A在一條直線上，連AD、BC，分別取AD、BC的中點(diǎn)M、N如圖（1），求出線段MN、AC之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）若將△OCD繞O旋轉(zhuǎn)到如圖（2）的位置，連AD、BC，取BC的中點(diǎn)M，請(qǐng)?zhí)骄烤�段OM、AD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）若將△OCD由圖（1）的位置繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜360°），且OA=4，OC=2，是否存在角度α使得OC⊥BC？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)△ABC的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．

（1）求證：∠AEB=∠ADC；

（2）連接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若增加一個(gè)條件，使ABCD成為菱形，下列給出的條件不正確的是（　�。�

A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.AD=CD

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)A.

（1）A的坐標(biāo)為 （用含a的代數(shù)式表示）；

（2）若拋物線與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ=2，求拋物線的解析式.

（3）點(diǎn)B的坐標(biāo)為，若該拋物線與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出a的取值范圍.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個(gè)案例．

原題：如圖①，點(diǎn)分別在正方形的邊上，，連接，則，試說明理由．

（1）思路梳理

因?yàn)?/span>，所以把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，可使與 重合．因?yàn)?/span>，所以，點(diǎn)共線．

根據(jù) ，易證 ，得.請(qǐng)證明．

（2）類比引申

如圖②，四邊形中，，，點(diǎn)分別在邊上，.若都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系時(shí)，仍然成立，請(qǐng)證明．

（3）聯(lián)想拓展

如圖③，在中，，點(diǎn)均在邊上，且.猜想應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出證明過程．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知：如圖所示．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)后，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2？

（2）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm？

（3）在（1）中，△PQB的面積能否等于7cm2？說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD=，E為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)（不與A，C重合），將射線EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角之后，所得射線與直線AD交于F點(diǎn)．試探究線段EB與EF的數(shù)量關(guān)系．

小宇發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E的位置，和的大小都不確定，于是他從特殊情況開始進(jìn)行探究．

（1）如圖1，當(dāng)==90°時(shí)，菱形ABCD是正方形．小宇發(fā)現(xiàn)，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分線的性質(zhì)可知EM=EN，進(jìn)而可得，并由全等三角形的性質(zhì)得到EB與EF的數(shù)量關(guān)系為 ．

（2）如圖2，當(dāng)=60°，=120°時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖形；

②請(qǐng)幫小宇繼續(xù)探究（1）的結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)舉出反例說明；

（3）小宇在利用特殊圖形得到了一些結(jié)論之后，在此基礎(chǔ)上對(duì)一般的圖形進(jìn)行了探究，設(shè)∠ABE=，若旋轉(zhuǎn)后所得的線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系滿足（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出角,，滿足的關(guān)系： ．

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