Question

（2013•臺州）如圖1，已知直線l：y=-x+2與y軸交于點A，拋物線y=（x-1）²+k經(jīng)過點A，其頂點為B，另一拋物線y=（x-h）²+2-h（h＞1）的頂點為D，兩拋物線相交于點C．
（1）求點B的坐標，并說明點D在直線l上的理由；
（2）設(shè)交點C的橫坐標為m．
 ①交點C的縱坐標可以表示為：

（m-1）²+1

或

（m-h）²-h+2

，由此進一步探究m關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；
 ②如圖2，若∠ACD=90°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）首先求得點A的坐標，然后求得點B的坐標，用h表示出點D的坐標后代入直線的解析式驗證即可；
（2）根據(jù)兩種不同的表示形式得到m和h之間的函數(shù)關(guān)系即可；過點C作y軸的垂線，垂足為E，過點D作DF⊥CE于點F，證得△ACE∽△CDF，然后用m表示出點C和點D的坐標，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得m的值即可．

解答：解：（1）當x=0時候，y=-x+2=2，
∴A（0，2），
把A（0，2）代入y=（x-1）²+k，得1+k=2
∴k=1，
∴y=（x-1）²+1，
∴B（1，1）
∵D（h，2-h）
∴當x=h時，y=-x+2=-h+2=2-h
∴點D在直線l上；

（2）①（m-1）²+1或（m-h）²-h+2
由題意得（m-1）²+1=（m-h）²-h+2，
整理得2mh-2m=h²-h
∵h＞1
∴m=

h2-h

2h-2

=

h

2

．
②過點C作y軸的垂線，垂足為E，過點D作DF⊥CE于點F
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠CDF
又∵∠AEC=∠DFC
∴△ACE∽△CDF
∴

AE

EC

=

CF

DF

又∵C（m，m²-2m+2），D（2m，2-2m），
∴AE=m²-2m，DF=m²，CE=CF=m
∴

m2-2m

m

=

m

m2

∴m²-2m=1
解得：m=±

2

+1
∵h＞1
∴m=

h

2

＞

1

2

∴m=

2

+1

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別是本題中涉及到的用點的坐標表示有關(guān)線段的長更是解決本題的關(guān)鍵，在中考中出現(xiàn)的頻率很高．