【題目】如圖,已知ABCD是菱形,△EFP的頂點(diǎn)E,F(xiàn),P分別在線段AB,AD,AC上,且EP=FP.
(1)證明:∠EPF+∠BAD=180°;
(2)若∠BAD=120°,證明:AE+AF=AP;
(3)若∠BAD=θ,AP=a,求AE+AF.

【答案】
(1)證明:如圖1中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠PAM=∠PAN,

∴PM=PN,

∵PE=PF,

∴Rt△PMF≌Rt△PNE,

∴∠MPF=∠NPE,

∴∠EPF=∠MPF,

∵∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°,

∴∠EPF+∠BAD=180°


(2)證明:如圖2中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.

由(1)可知Rt△PMF≌Rt△PNE,

∴FM=NE,

∵PA=PA,PM=PN,

∴Rt△PAM≌Rt△PAN,

∴AM=AN,

∴AF+AE=(AM+FM)+(AN﹣EN)=2AM,

∵∠BAD=120°,

∴∠PAM=60°,易知PA=2AM,

∴AE+AF=PA


(3)解:結(jié)論:AF+AE=PAcos

理由:如圖2中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.

由(1)可知Rt△PMF≌Rt△PNE,

∴FM=NE,

∵PA=PA,PM=PN,

∴Rt△PAM≌Rt△PAN,

∴AM=AN,

∴AF+AE=(AM+FM)+(AN﹣EN)=2AM,

∵∠BAD=θ,

∴∠PAM= ,易知AM=PAcos ,

∴AF+AE=PAcos


【解析】(1)如圖1中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.由Rt△PMF≌Rt△PNE,推出∠MPF=∠NPE,推出∠EPF=∠MPF,由∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°,推出∠EPF+∠BAD=180°即可;(2)如圖2中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.由Rt△PMF≌Rt△PNE,推出FM=NE,由PA=PA,PM=PN,推出Rt△PAM≌Rt△PAN,推出AM=AN,推出AF+AE=(AM+FM)+(AN﹣EN)=2AM,再證明PA=2AM即可解決問題;(3)結(jié)論:AF+AE=PAcos .證明方法類似(2);

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