【題目】已知,內(nèi)接于,點(diǎn)是弧的中點(diǎn),連接;

1)如圖1,若,求證:;

2)如圖2,若平分,求證:;

3)在(2)的條件下,若,,求的值.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)2.

【解析】

(1)由點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn),可得出AP=BP, 通過證明 ,可得出進(jìn)而證明AB PC.

(2)由PA是∠CPM的角平分線,得到∠MPA=APC, 等量代換得到∠ABC=ACB, 根據(jù)等腰三角形的判定定理即可證得AB=AC.

(3)過A點(diǎn)作ADBC,有三線合一可知AD平分BC,點(diǎn)OAD上,連結(jié)OB,則∠BODBAC,根據(jù)圓周角定理可知∠BOD=BAC, BPC=BAC,由∠BOD=BPC可得 ,設(shè)OB= ,根據(jù)勾股定理可算出OB、BD、OD、AD的長,再次利用勾股定理即可求得AP的值.

解:(1)∵點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn),如圖1,

APBP

APCBPC

,

∴△APC≌△BPCSSS),

∴∠ACPBCP,

ACEBCE

,

∴△ACE≌△BCESAS),

∴∠AECBEC

∵∠AEC+BEC=180°,

∴∠AEC=90°,

ABPC;

(2)PA平分∠CPM,

∴∠MPAAPC

∵∠APC+BPC+ACB=180°,MPA+APC+BPC=180°,

∴∠ACBMPAAPC,

∵∠APCABC

∴∠ABCACB,

ABAC;

(3)過A點(diǎn)作ADBCBCD,連結(jié)OPABE,如圖2,

由(2)得出ABAC

AD平分BC,

∴點(diǎn)OAD上,

連結(jié)OB,則∠BODBAC

∵∠BPCBAC,

=

設(shè)OB=25x,則BD=24x,

OD=7x

中,AD=25x+7x=32x,BD=24x

AB=40x,

AC=8,

AB=40x=8,

解得:x=0.2,

OB=5,BD=4.8,OD=1.4,AD=6.4,

∵點(diǎn)P的中點(diǎn),

OP垂直平分AB

AEAB=4,AEPAEO=90°,

中,OE,

PEOPOE=5﹣3=2,

中,AP

練習(xí)冊系列答案
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如圖2,是由繞點(diǎn)H逆時針旋轉(zhuǎn)得到的,射線CFAE相交于點(diǎn)G,連接GH,試探究線段GHEF之間滿足的等量關(guān)系,并說明理由.

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【題目】已知:在RtABC中,∠B90°,BC4cm,AB8cm,D、EF分別為AB、AC、BC邊上的中點(diǎn).若PAB邊上的一個動點(diǎn),PQBC,且交AC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊,在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形PQMN,記正方形PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y

1)如圖,當(dāng)AP3cm時,求y的值;

2)設(shè)APxcm,試用含x的代數(shù)式表示ycm2);

3)當(dāng)y2cm2時,試確定點(diǎn)P的位置.

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【題目】如圖,AB⊙O的直徑,點(diǎn)D⊙O外一點(diǎn),ABADBD⊙O于點(diǎn)C,AD⊙O于點(diǎn)E,點(diǎn)PAC的延長線上一點(diǎn),連接PBPD,且PDAD

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(1)求的長;

(2)如圖,點(diǎn)、分別在線段上,線段平行于橫軸,、的橫坐標(biāo)分別為、.設(shè)機(jī)器人用了到達(dá)點(diǎn)處,用了到達(dá)點(diǎn)處(見圖).若,求、的值.

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3)點(diǎn)E為線段AC上的一個動點(diǎn).

若點(diǎn)P在拋物線上,其橫坐標(biāo)為m,當(dāng)PEACPE時.請直接寫出m的值;

若點(diǎn)F為線段AB上一個動點(diǎn),且CEAF,當(dāng)OE+OF的值最小時,請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).

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