Question

（2011•葫蘆島）如圖（1）至圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，點B、C、E在同一條直線上．
（1）已知：如圖（1），AC=AB，AD=AE．求證：①CD=BE；②CD⊥BE．
（2）如圖（2），當AB=kAC，AE=kAD（k≠1）時，分別說出（1）中的兩個

②

結論是否成立，若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得出△CAD≌△BAE．則∠ACD=∠ABE．再由∠BAC=90°，即可得出CD⊥BE；
（2）①不成立，②成立．
可證明△ACD∽△ABE，則

CD

BE

=

AC

AB

，∠ACD=∠ABE，由k≠1，則BE≠CD．從而得出①不成立；可證明CD⊥BE，則②成立．

解答：解：（1）如圖（1），∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠CAD=∠BAE．
在△ACD和△ABE中，AC=AB，AD=AE，
∴CD=BE．（3分）
∴∠ACD=∠ABE．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠ACB=90°．
∴∠ACD+∠ACB=90°，即CD⊥BE．（5分）

（2）如圖（2），①不成立．（6分）
理由如下：
∵AB=kAC，AE=kAD，
∴

AC

AB

=

AD

AE

=

1

k

．
又∠BAC=∠DAE，
∴∠DAC=∠EAB．
∴△ACD∽△ABE．
∴

CD

BE

=

AC

AB

，∠ACD=∠ABE．
∵AB=kAC，
∴BE=kCD．
∵k≠1，
∴BE≠CD．
∴①不成立．（7分）
②成立．（8分）
由上可知，∠ACD=∠ABE．
又∵∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠ACB=90°．
∴∠ACD+∠ACB=90°．
即　CD⊥BE，即②成立．（9分）

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質以及相似三角形的判定和性質，是一道綜合題目，難度較大．