Question

在平面直角坐標(biāo)系中，給定以下五點A（-2，0）、B（1，0）、C（4，0）、D（-2，6）、E（0，-6），從五點中選取三點，使經(jīng)過這三點的拋物線滿足以平行于y軸的直線為對稱軸．我們約定：把過三點A、E、B的拋物線表示為拋物線AEB（如圖所示）．
（1）問符合條件的拋物線還有哪幾條？不求解析式，請用約定的方法一一表示出來．
（2）在（1）中是否存在這樣的一條拋物線，它與余下的兩點所確定的直線不相交？如果存在，試求出拋物線及直線的解析式；如果不存在，請說明理由．
．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)從五點中選取三點，使經(jīng)過這三點的拋物線滿足以平行于y軸的直線為對稱軸，利用坐標(biāo)系即可得出答案；
（2）將D（-2，6）、B（1，0）、C（4，0）三點坐標(biāo)分別代入，得出二次函數(shù)解析式進(jìn)而求出直線AE的解析式為y=mx+n，再利用兩函數(shù)解析式聯(lián)立后無實數(shù)根得出答案即可．

解答：解：（1）符合條件的拋物線還有5條，
分別是拋物線AEC；拋物線CBE；拋物線DEB；拋物線DEC；拋物線DBC． 

（2）在（1）中存在拋物線DBC，它與直線AE不相交．
理由：設(shè)拋物線DBC的解析式為y=ax²+bx+c，
將D（-2，6）、B（1，0）、C（4，0）三點坐標(biāo)分別代入，
得

4a-2b+c=6 a+b+c=0 16a+4b+c=0

，
解得：a=

1

3

，b=-

5

3

，c=

4

3

，
故拋物線DBC的解析式為y=

1

3

x2-

5

3

x+

4

3

，
又設(shè)直線AE的解析式為y=mx+n，
將A（-2，0），E（0，-6）兩點坐標(biāo)分別代入得

-2m+n=0 n=-6

，
解得m=-3，n=-6，
所以直線AE的解析式為y=-3x-6．
∵當(dāng)

1

3

x²-

5

3

x+

4

3

=-3x-6，
∴當(dāng)

1

3

x²+

4

3

x+

22

3

=0，
∵△=b²-4ac=

16

9

-4×

1

3

×

22

3

=-8＜0，
∴此方程沒有實數(shù)根，即兩函數(shù)沒有交點．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合題以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，利用方程與函數(shù)之間的聯(lián)系得出方程的根的情況是解決問題的關(guān)鍵．