【題目】如圖,△AOB是等腰直角三角形,直線BD∥OA,OB=OA=1,P是線段AB上一動點,過P點作MN∥OB,分別交OA、BD于M、N,PC⊥PO,交BD于點C.

(1)求證:OP=PC;

(2)當點C在射線BN上時,設AP長為m,四邊形POBC的面積為S,請求出S與m間的函數(shù)關系式,并寫出自變量m的取值范圍;

(3)當點P在線段AB上移動時,點C也隨之在直線BN上移動,△PBC是否可能成為等腰三角形?如果可能,求出所有能使△PBC成為等腰三角形時的PM的值;如果不可能,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)s=m2m+1(0≤m≤).(3) 0或

【解析】試題分析:(1)首先利用矩形的判定得出四邊形OBNM為矩形,即可得出∠CPN=∠POM,進而得出△OPM≌△PCN,求出即可;

(2)利用S=S△OPB+S△PBC進而得出Sm的函數(shù)關系;

(3)利用當點P與點A重合時,PC=BC=1,②如圖,當點COB下方,且PB=CB時,分別求出即可.

試題解析:(1)證明:如圖①,△AOB是等腰直角三角形,AO=BO=1,

∴∠A=45°,∠AOB=90°,

直線BN∥OA,MN∥OB,

四邊形OBNM為矩形,

∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=90°

∠AMP=90°,∠A=∠APM=∠BPN=45°,

∴OM=BN=PN,

∵∠OPC=90°,

∴∠OPM+∠CPN=90°,

∵∠OPM+∠POM=90°,

∴∠CPN=∠POM,

△OPM△PCN

∴△OPM≌△PCN(ASA),

∴OP=PC,

(2)解:AM=PM=APsin45°=m,

NC=PM=m,BN=OM=PN=1﹣m;

BC=BN﹣NC=1﹣m﹣m=1﹣m,

S=SOPB+SPBC=BOMO+BCPN,

=m2m+1(0≤m≤);

(3)解:△PBC可能為等腰三角形,

當點P與點A重合時,PC=BC=1,此時PM=0,

如圖,當點COB下方,且PB=CB時,

OM=BN=PN=1﹣m,

BC=PB=PN=﹣m,

NC=BN+BC=1﹣m+﹣m,

由(2)知:NC=PM=m,

1﹣m+﹣m=m,

∴m=1.

PM=m=;

使PBC為等腰三角形時的PM的值為0

練習冊系列答案
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