Question

【題目】閱讀并解答：

①方程x2﹣2x+1＝0的根是，則有．

②方程2x2﹣x﹣2＝0的根是＝，＝，則有，．

③方程3x2+4x﹣7＝0的根是，，則有，．

（1）根據(jù)以上①②③請(qǐng)你猜想：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，那么與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想并證明你的猜想；

（2）利用你的猜想結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：

已知關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有實(shí)數(shù)根，且，求k的值

Answer 1

【答案】（1），，證明見(jiàn)解析；（2）1.

【解析】

（1）由①②③中兩根之和與兩根之積的結(jié)果可以看出，兩根之和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積正好等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)之比．

（2）欲求k的值，先把代數(shù)式x12+x22變形為兩根之積或兩根之和的形式，然后與兩根之和公式、兩根之積公式聯(lián)立組成方程組，解方程組即可求k值．

（1）猜想為：設(shè)ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根為x1、x2，則有，．

理由：設(shè)x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，

那么由求根公式可知，，．

于是有，，

綜上得，設(shè)ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根為x1、x2，

則有，．

（2）x1、x2是方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

∴x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2﹣2，

又∵x12+x22＝x12+x22+2x1x2﹣2x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2

∴[﹣（2k+1）]2﹣2×（k2﹣2）＝11

整理得k2+2k﹣3＝0，

解得k＝1或﹣3，

又∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2 ）≥0，解得k≥﹣，

∴k＝1．