Question

【題目】如圖①，定義：直線 (m<0, n>0) 與x、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，過點(diǎn)A、B、D的拋物線P叫做直線l的“糾纏拋物線”，反之，直線l叫做P的“糾纏直線”，兩線“互為糾纏線”。

（1） 若，則糾纏拋物線P的函數(shù)解析式是 ．

（2） 判斷并說明與是否“互為糾纏線”.

（3） 如圖②，若糾纏直線，糾纏拋物線P的對稱軸與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在l上，點(diǎn)Q在P的對稱軸上，當(dāng)以點(diǎn)C、E、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（4） 如圖③，在(3)的條件下，G為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，G點(diǎn)隨著△AOB旋轉(zhuǎn)到線段CD上的H點(diǎn)，連接H、G，取HG的中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)G從A開始運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長。

Answer 1

【答案】解：（1）；（2）詳見解析；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)為或；（4）M的運(yùn)動(dòng)路徑長為

【解析】

（1）根據(jù)題意及直線l解析式可得A，B，D坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求拋物線P的函數(shù)解析式；

（2）分別在x=0時(shí)和y=0時(shí)，求兩函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，然后根據(jù)“互為糾纏線”的定義進(jìn)行判斷；

（3）以點(diǎn)C，E，Q，F為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，則有FQ∥CE，且FQ＝CE．以此為基礎(chǔ)，列方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（4）如圖，過點(diǎn)H，G分別作HJ⊥x軸，GK⊥x軸，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明△HJO≌△OKG，則可以設(shè)點(diǎn)G（m,-2m+4）(0≤m≤2)， H(2m-4,m)，得到M點(diǎn)坐標(biāo)為()，從而確定出點(diǎn)M在直線（-2≤x≤1）上運(yùn)動(dòng)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式易得結(jié)果.

解：（1）若，則A（1,0），B（0,2），D（-2,0），

設(shè)拋物線解析式為：y=a(x-1)(x+2)，

將B（0,2）代入可得：a=-1，

∴拋物線解析式為：y=-(x-1)(x+2)=；

（2）當(dāng)x=0時(shí)，，，

∴兩函數(shù)圖像交于y軸（0,2k）,

當(dāng)y=0時(shí)，①，解得：x=k，

②，解得：，，

∴兩函數(shù)圖像交于x軸(k,0)，且OB=OD，

∴與“互為糾纏線”；

（3）若，則A（2,0），B（0,4），C（0,2），D（-4,0），

求得直線CD的解析式為：y＝，

可求得P的對稱軸為．

∵以點(diǎn)C，E，Q，F為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形，

∴FQ∥CE，且FQ＝CE．

設(shè)直線FQ的解析式為：y＝，

∵點(diǎn)E、點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相差1，

∴點(diǎn)F、點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)也是相差1．

則|xF（1）|＝|xF＋1|＝1，

解得xF＝0或xF＝2．

∵點(diǎn)F在直線l：y＝2x＋4上，

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，4）或（2，8）．

若F（0，4），則直線FQ為：y＝+4，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝，

∴Q1（1，）；

若F（2，8），則直線FQ為：y＝x＋9，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝，

∴Q2（1，）．

∴滿足條件的點(diǎn)Q有2個(gè)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q1（1，）， Q2（1，）．

（4）如圖，過點(diǎn)H，G分別作HJ⊥x軸，GK⊥x軸，

∵OH=OG，∠HOG=90°，

∴∠HOJ+∠GOK=90°,

∵∠HOJ+∠JHO=90°,

∴∠GOK=∠JHO，

又∵∠HJO=∠OKG=90°,

∴△HJO≌△OKG，

設(shè)點(diǎn)G（m,-2m+4）(0≤m≤2)，則H(2m-4,m)

∴M()，

令，

∴,

∴，

∵0≤m≤2，

∴-2≤x≤1，

∴點(diǎn)M在直線（-2≤x≤1）上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)x=1時(shí)，y=,

當(dāng)x=-2時(shí)，y=，

∴M的運(yùn)動(dòng)路徑長=