Question

【題目】已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，BP=OB=2，點(diǎn)Q在⊙O上，連接PQ．
（1）如圖①，線段PQ所在的直線與⊙O相切，求線段PQ的長(zhǎng)

（2）如圖②，線段PQ與⊙O還有一個(gè)公共點(diǎn)C，且PC=CQ，連接OQ，AC交于點(diǎn)D．
①判斷OQ與AC的位置關(guān)系，并說明理由；
②求線段PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）如圖①，連接OQ．

∵線段PQ所在的直線與⊙O相切，點(diǎn)Q在⊙O上，

∴OQ⊥OP．

又∵BP=OB=OQ=2，

∴PQ===，即PQ=.

（2）

解：OQ⊥AC．理由如下：

如圖②，連接BC．

∵BP=OB，

∴點(diǎn)B是OP的中點(diǎn)，

又∵PC=CQ，

∴點(diǎn)C是PQ的中點(diǎn)，

∴BC是△PQO的中位線，

∴BC∥OQ．

又∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

∴OQ⊥AC．

如圖②，PCPQ=PBPA，即PQ2=2×6，

解得PQ=．

【解析】（1）如圖①，連接OQ．利用切線的性質(zhì)和勾股定理來求PQ的長(zhǎng)度．
（2）如圖②，連接BC．利用三角形中位線的判定與性質(zhì)得到BC∥OQ．根據(jù)圓周角定理推知BC⊥AC，所以，OQ⊥AC．
（3）利用割線定理來求PQ的長(zhǎng)度即可．