Question

【題目】在小學(xué)，我們知道正方形具有性質(zhì)“四條邊都相等，四個(gè)內(nèi)角都是直角”，請(qǐng)適當(dāng)利用上述知識(shí)，解答下列問題：
已知：如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)G是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DG為邊向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于點(diǎn)H．

（1）填空：∠AGD+∠EGH=°；
（2）若點(diǎn)G在點(diǎn)B的右邊．
①求證：△DAG≌△GHE；
②試探索：EH﹣BG的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
（3）連接EB，在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外）過程中，求∠EBH的度數(shù)；若點(diǎn)G是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其余條件不變，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)F之間距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）90
（2）

解：①∵EH⊥AB，

∴∠GHE=90°，

∴∠GEH+∠EGH=90°，

又∠AGD+∠EGH=90°，

∴∠GEH=∠AGD，

∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形，

∴∠DAG=90°，DG=GE，

∴∠DAG=∠GHE，

在△DAG和△GHE中， ，

∴△DAG≌△GHE（AAS）；

②EH﹣BG的值是定值，

理由如下：

由①證得：△DAG≌△GHE，

∴AG=EH，

又AG=AB+BG，AB=4，

∴EH=AB+BG，EH﹣BG=AB=4

（3）

解：下面分兩種情況討論：

（I）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖1，同（2）①可證得：△DAG≌△GHE，

∴GH=DA=AB，EH=AG，

∴GB+BH=AG+GB，

∴BH=AG=EH，又∠GHE=90°

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH=45°；

（II）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，

由（2）①證得：△DAG≌△GHE．

∴GH=DA=AB，EH=AG，

∴AB+BG=BG+GH，

∴AG=BH，又EH=AG

∴EH=HB，又∠GHE=90°

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH=45°；

（ III）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖3，同理可證：△DAG≌△GHE，

∴GH=DA=AB，EH=AG=AB，

∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，

∴∠EBH=45°

綜上，在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外）過程中，∠EBH都等于45°，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)F之間距離的最小值為4．

【解析】解：（1）∵四邊形DGEF是正方形，
∴∠DGE=90°，
∴∠AGD+∠EGH=180°﹣∠DGE=90°，
所以答案是：90；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．