【題目】(1)如圖:已知D為等腰直角△ABC斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(D與B、C均不重合),連結(jié)AD,△ADE是等腰直角三角形,DE為斜邊,連結(jié)CE,求∠ECD的度數(shù).
(2)當(dāng)(1)中△ABC、△ADE都改為等邊三角形,D點(diǎn)為△ABC中BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(D與B、C均不重合),當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△DCE的周長最小?請(qǐng)?zhí)角簏c(diǎn)D的位置,試說明理由,并求出此時(shí)∠EDC的度數(shù).
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到使△DCE的周長最小時(shí),點(diǎn)M是此時(shí)射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以CM為邊,在直線CM的下方畫等邊三角形CMN,若△ABC的邊長為4,請(qǐng)直接寫出DN長度的最小值.
【答案】(1)∠ECD=90°; (2)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),△DCE的周長最小,理由見解析;∠EDC=30°;(3) DN長度的最小值為1.
【解析】
(1)由等腰直角△ABC、△ADE易證△BAD≌CAE,即可得出∠ECA=∠B=45°,進(jìn)而求出∠ECD=90°;
(2)證明△BAD≌△CAE(SAS),推出BD=EC,∠ACE=∠B=60°推出CD+EC=CD+BD=BC,∠ECD=60°+60°=120°,由△ECD的周長=DE+CD+CE=DE+BC,BC為定值,推出DE最小時(shí),△DCE的周長最小,根據(jù)AD⊥BC時(shí)DE最短即可解決問題;
(3)如圖3中,取AC的中點(diǎn)H,連接DH,則△DCH是等邊三角形.作HK⊥AD于K.證明△HCM≌△DCN(SAS),推出DN=HM,推出HM最小時(shí),DN的值最小,當(dāng)HM與KH重合時(shí),HM的值最小,依此求解.
解:(1)∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠ADE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,∠B=∠ACB=45°,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE=45°,
∴∠ECD=45°+45°=90°;
(2)如圖2,
∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠ADE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,∠B=∠ACB=60°,
∴△BAD≌CAE(SAS),
∴BD=EC,∠ACE=∠B=60°
∴CD+EC=CD+BD=BC,∠ECD=60°+60°=120°,
∵△ECD的周長=DE+CD+CE=DE+BC,
∵BC為定值,
∴DE最小時(shí),△DCE得到周長最小,
∵DE=AD,
∴AD⊥BC時(shí),AD最小,此時(shí)BD=CD=CE,
∴∠EDC=(180°120°)=30°,
∴當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí),△DEC周長最小,此時(shí)∠EDC=30°;
(3)如圖3中,取AC的中點(diǎn)H,連接DH,則△DCH是等邊三角形.作HK⊥AD于K.
∵CH=CD,CM=CN,∠DCH=∠MCN,
∴∠HCM=∠DCN,
∴△HCM≌△DCN(SAS),
∴DN=HM,
∴HM最小時(shí),DN的值最小,
當(dāng)HM與KH重合時(shí),HM的值最小,KH=AH=1,
∴DN的長度的最小值為1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,我國很多地區(qū)持續(xù)出現(xiàn)霧霾天氣.某社區(qū)為了調(diào)查本社區(qū)居民對(duì)霧霾天氣主要成因的認(rèn)識(shí)情況,隨機(jī)對(duì)該社區(qū)部分居民進(jìn)行了問卷調(diào)查,要求居民從五個(gè)主要成因中只選擇其中的一項(xiàng),被調(diào)查居民都按要求填寫了問卷.社區(qū)對(duì)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了整理,繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.被調(diào)查居民選擇各選項(xiàng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
霧霾天氣的主要成因 | 頻數(shù)(人數(shù)) |
A大氣氣壓低,空氣不流動(dòng) | m |
B地面灰塵大,空氣濕度低 | 40 |
C汽車尾氣排放 | n |
D工廠造成的污染 | 120 |
E其他 | 60 |
請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題:
(1)填空:m=________,n=________,扇形統(tǒng)計(jì)圖中C選項(xiàng)所占的百分比為________.
(2)若該社區(qū)居民約有6 000人,請(qǐng)估計(jì)其中會(huì)選擇D選項(xiàng)的居民人數(shù).
(3)對(duì)于“霧霾”這個(gè)環(huán)境問題,請(qǐng)你用簡短的語言發(fā)出倡議.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,DE垂直平分AC,垂足為點(diǎn)E.
(1)證明∠BAD=∠C;
(2)∠BAD=29°,求∠B的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)正兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是a,十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大2.
(1)列式表示這個(gè)兩位數(shù);
(2)把這個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置得到一個(gè)新的兩位數(shù),試說明新數(shù)與原數(shù)的和能被22整除.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境:
在綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).如圖1,將矩形紙片沿對(duì)角線剪開,得到和.并且量得,.
操作發(fā)現(xiàn):
(1)將圖1中的以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使,得到如圖2所示的,過點(diǎn)作的平行線,與的延長線交于點(diǎn),則四邊形的形狀是________.
(2)創(chuàng)新小組將圖1中的以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使、、三點(diǎn)在同一條直線上,得到如圖3所示的,連接,取的中點(diǎn),連接并延長至點(diǎn),使,連接、,得到四邊形,發(fā)現(xiàn)它是正方形,請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.
實(shí)踐探究:
(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上,進(jìn)行如下操作:將沿著方向平移,使點(diǎn)與點(diǎn)重合,此時(shí)點(diǎn)平移至點(diǎn),與相交于點(diǎn),如圖4所示,連接,試求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,花叢中有一路燈桿AB. 在燈光下,小明在D點(diǎn)處的影長DE=3米,沿BD方向行走到達(dá)G點(diǎn),DG=5米,這時(shí)小明的影長GH=5米. 如果小明的身高為1.7米,求路燈桿AB的高度(精確到0.1米).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=∠C=90°,點(diǎn)E在DC上,且AE,BE分別平分∠BAD和∠ABC.
(1)求證:點(diǎn)E為CD中點(diǎn);
(2)當(dāng)AD=2,BC=3時(shí),求AB的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校有1500名學(xué)生,小明想了解全校學(xué)生每月課外閱讀書籍的數(shù)量情況,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生,得到如統(tǒng)計(jì)圖:
(1)一共抽查了多少人?
(2)每月課外閱讀書籍?dāng)?shù)量是1本的學(xué)生對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是多少?
(3)估計(jì)該校全體學(xué)生每月課外閱讀書籍的總量大約是多少本?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1是一商場的推拉門,已知門的寬度米,且兩扇門的大小相同(即),將左邊的門繞門軸向里面旋轉(zhuǎn),將右邊的門繞門軸向外面旋轉(zhuǎn),其示意圖如圖2,求此時(shí)與之間的距離(結(jié)果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):,,)
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