Question

【題目】定義：如圖1，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．

（1）已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，若AM=2，MN=3，求BN的長(zhǎng)；
（2）如圖2，在△ABC中，F(xiàn)G是中位線，點(diǎn)D，E是線段BC的勾股分割點(diǎn)，且EC＞DE≥BD，連接AD，AE分別交FG于點(diǎn)M，N，求證：點(diǎn)M，N是線段FG的勾股分割點(diǎn)；
（3）已知點(diǎn)C是線段AB上的一定點(diǎn)，其位置如圖3所示，請(qǐng)?jiān)贐C上畫(huà)一點(diǎn)D，使點(diǎn)C，D是線段AB的勾股分割點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫(huà)一種情形即可）；
（4）如圖4，已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均為等邊三角形，AE分別交CM，DM，DN于點(diǎn)F，G，H，若H是DN的中點(diǎn)，試探究S△AMF ， S△BEN和S四邊形MNHG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，

∵點(diǎn) M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，

∴BN= = = ；

②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，

∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，

∴BN= = = ，

綜上所述：BN= 或

（2）

證明：∵FG是△ABC的中位線，

∴FG∥BC，

∴ =1，

∴點(diǎn)M、N分別是AD、AE的中點(diǎn)，

∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，

∵點(diǎn)D、E是線段BC的勾股分割點(diǎn)，且EC＞DE≥BD，

∴EC2=BD2+DE2，

∴（2NG）2=（2FM）2+（2MN）2，

∴NG2=FM2+MN2，

∴點(diǎn)M、N是線段FG的勾股分割點(diǎn)

（3）

解：作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；

③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；

點(diǎn)D即為所求；如圖所示：

（4）

解：S四邊形MNHG=S△AMF+S△BEN，理由如下：

設(shè)AM=a，BN=b，MN=c，

∵H是DN的中點(diǎn)，

∴DH=HN= c，

∵△MND、△BNE均為等邊三角形，

∴∠D=∠DNE=60°，

在△DGH和△NEH中，

，

∴△DGH≌△NEH（ASA），

∴DG=EN=b，

∴MG=c﹣b，

∵GM∥EN，

∴△AGM∽△AEN，

∴ ，

∴c2=2ab﹣ac+bc，

∵點(diǎn) M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，

∴c2=a2+b2，

∴（a﹣b）2=（b﹣a）c，

又∵b﹣a≠c，

∴a=b，

在△DGH和△CAF中，

，

∴△DGH≌△CAF（ASA），

∴S△DGH=S△CAF，

∵c2=a2+b2，

∴ c2= a2+ b2，

∴S△DMN=S△ACM+S△ENB，

∵S△DMN=S△DGH+S四邊形MNHG，S△ACM=S△CAF+S△AMF，

∴S四邊形MNHG=S△AMF+S△BEN

【解析】（1）①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，由勾股定理求出BN；②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，由勾股定理求出BN即可；（2）先證出點(diǎn)M、N分別是AD、AE的中點(diǎn)，得出BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，求出EC2=BD2+DE2 ， 得出NG2=FM2+MN2 ， 即可得出結(jié)論；（3）在AB上截取CE=CA；作AE點(diǎn)垂直平分線，截取CF=CA；作BF的垂直平分線，交AB于D即可；（4）先證明△DGH≌△NEH，得出DG=EN=b，MG=c﹣b，再證明△AGM∽△AEN，得出比例式，得出c2=2ab﹣ac+bc，證出c2=a2+b2 ， 得出a=b，證出△DGH≌△CAF，得出S△DGH=S△CAF ， 證出S△DMN=S△ACM+S△ENB ， 即可得出結(jié)論．