【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),且此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(﹣1,4).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)D為已知拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn),當(dāng)△ACD與△ACB面積相等時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在線段AM上,當(dāng)PC與y軸垂直時(shí),過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為E,將△PCE沿直線CE翻折,使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′與P、E、C處在同一平面內(nèi),請(qǐng)求出點(diǎn)P′坐標(biāo),并判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線上.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為M(﹣1,4),
∴ ,解得: .
∴所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3
(2)
解:依照題意畫出圖形,如圖1所示.
令y=﹣x2﹣2x+3=0,解得:x=﹣3或x=1,
故A(﹣3,0),B(1,0),
∴OA=OC,△AOC為等腰直角三角形.
設(shè)AC交對(duì)稱軸x=﹣1于F(﹣1,yF),
由點(diǎn)A(﹣3,0)、C(0,3)可知直線AC的解析式為y=x+3,
∴yF=﹣1+3=2,即F(﹣1,2).
設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1,yD),
則S△ADC= DFAO= ×|yD﹣2|×3.
又∵S△ABC= ABOC= ×[1﹣(﹣3)]×3=6,且S△ADC=S△ABC,
∴ ×|yD﹣2|×3.=6,解得:yD=﹣2或yD=6.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2)或(﹣1,6)
(3)
解:如圖2,點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn),過點(diǎn)P′作PH⊥y軸于H,設(shè)P′E交y軸于點(diǎn)N.
在△EON和△CP′N中, ,
∴△EON≌△CP′N(AAS).
設(shè)NC=m,則NE=m,
∵A(﹣3,0)、M(﹣1,4)可知直線AM的解析式為y=2x+6,
∴當(dāng)y=3時(shí),x=﹣ ,即點(diǎn)P(﹣ ,3).
∴P′C=PC= ,P′N=3﹣m,
在Rt△P′NC中,由勾股定理,得: +(3﹣m)2=m2,
解得:m= .
∵S△P′NC= CNP′H= P′NP′C,
∴P′H= .
由△CHP′∽△CP′N可得: ,
∴CH= = ,
∴OH=3﹣ = ,
∴P′的坐標(biāo)為( , ).
將點(diǎn)P′( , )代入拋物線解析式,
得:y=﹣ ﹣2× +3= ≠ ,
∴點(diǎn)P′不在該拋物線上.
【解析】(1)由拋物線經(jīng)過的C點(diǎn)坐標(biāo)以及頂點(diǎn)M的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式;(2)設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1,yD),根據(jù)三角形的面積公式以及△ACD與△ACB面積相等,即可得出關(guān)于yD含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程,解方程即可得出結(jié)論;(3)作點(diǎn)P關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)P′,過點(diǎn)P′作PH⊥y軸于H,設(shè)P′E交y軸于點(diǎn)N.根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)即可得出△EON≌△CP′N,從而得出CN=NE,由點(diǎn)A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AM的解析式,進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo),在Rt△P′NC中,由勾股定理可求出CN的值,再由相似三角形的性質(zhì)以及線段間的關(guān)系即可找出點(diǎn)P′的坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中看等式是否成立,由此即可得出結(jié)論.
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【題目】如圖,直線y=x與雙曲線y= (k>0)交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.
(1)求k的值;
(2)若雙曲線y= (k>0)上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8,求△AOC的面積.
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【題目】如圖,正方形ABCD內(nèi)部有若干個(gè)點(diǎn),用這些點(diǎn)以及正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C,D把原正方形分割成一些三角形(互相不重疊):
(1)填寫下表:
(2)原正方形能否被分割成2018個(gè)三角形?若能,求此時(shí)正方形ABCD內(nèi)部有多少個(gè)點(diǎn);若不能,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,C是線段AB上一點(diǎn),M是線段AC的中點(diǎn),N是線段BC的中點(diǎn).
(1)如果AB=20 cm,AM=6 cm,求NC的長(zhǎng);
(2)如果MN=6 cm,求AB的長(zhǎng).
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【題目】如圖,直線y=k1x+7(k1<0)與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y= (k2>0)的圖象在第一象限交于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),△AOB的面積為 ,點(diǎn)C橫坐標(biāo)為1.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)如果一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù),那么我們就稱這個(gè)點(diǎn)為“整點(diǎn)”,請(qǐng)求出圖中陰影部分(不含邊界)所包含的所有整點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】某商場(chǎng)為了吸引顧客,設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(轉(zhuǎn)盤被等分成 個(gè)扇形,如圖)并規(guī)定:顧客在本商場(chǎng)每消費(fèi) 元,就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì),如果轉(zhuǎn)盤停止后,指針正好對(duì)準(zhǔn)紅、黃或綠色區(qū)域,顧客就可以分別獲得 100 元、 50 元、 20 元的購(gòu)物券.某顧客消費(fèi) 210 元,他轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤獲得購(gòu)物券的概率是多少?他得到 100 元、 50 元、 20 元購(gòu)物券的概率分別是多少?
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+a﹣c=0,其中a、b、c分別為△ABC三邊的長(zhǎng).下列關(guān)于這個(gè)方程的解和△ABC形狀判斷的結(jié)論錯(cuò)誤的是( 。
A. 如果x=﹣1是方程的根,則△ABC是等腰三角形
B. 如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則△ABC是直角三角形
C. 如果△ABC是等邊三角形,方程的解是x=0或x=﹣1
D. 如果方程無實(shí)數(shù)解,則△ABC是銳角三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,A(0,2)、B(﹣1,0),將△ABO經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、平移變化后得到如圖1所示的△BCD.
(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)連結(jié)AC,點(diǎn)P是位于線段BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),若直線PC將△ABC的面積分成1:3兩部分,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)現(xiàn)將△ABO、△BCD分別向下、向左以1:2的速度同時(shí)平移,求出在此運(yùn)動(dòng)過程中△ABO與△BCD重疊部分面積的最大值.
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