Question

【題目】如圖，是的直徑，是的弦，過點的切線交的延長線于點于，且.

（1）求證：；

（2）若，求的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD= 2．

【解析】

（1）連接OA，利用三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形中30°角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系，即可證明

（2）由（1）可得AO=OD=2OE，再根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系，可得出CD的值.

（1）證明：連接OA，

∵過點A的切線交BD延長線于點C，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC＝90°

∵OA＝OB，

∴∠AOC＝2∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠C+∠AOC=90°

∴∠B+2∠B=90°，

∴∠B =30°·

∵OE⊥AB，

∴∠OEB＝90°，

∴OB＝2OE，即2OE=r

（2）解：∵OE=1

∴AO=OD=2OE=2

∵∠C=∠B=30°，∠OAC=90°

∴OC=2AO=4

∴CD=OC-OD=2．