【題目】（探索發(fā)現(xiàn)）

如圖，是等邊三角形，點(diǎn)為邊上一個動點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接.小明在探索這個問題時發(fā)現(xiàn)四邊形是菱形.

小明是這樣想的：

（1）請參考小明的思路寫出證明過程；

（2）直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：______________；

（理解運(yùn)用）

如圖，在中，于點(diǎn).將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，延長與，交于點(diǎn).

（3）判斷四邊形的形狀，并說明理由；

（拓展遷移）

（4）在（3）的前提下，如圖，將沿折疊得到，連接，若，，求的長.

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）四邊形是正方形；（4）

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：△ACE是等邊三角形，可得：AB=BC=CE=AE，則四邊形ABCE是菱形；

（2）先證明C、F、E在同一直線上，再證明△BAD≌△CAF（SAS），則∠ADB=∠AFC，BD=CF，可得AC=CF+CD；

（3）先根據(jù)∠ADC=∠DAF=∠F=90°，證明得四邊形ADGF是矩形，由鄰邊相等可得四邊形ADGF是正方形；

（4）證明△BAM≌△EAD（SAS），根據(jù)BM=DE及勾股定理可得結(jié)論．

（1）證明：∵是等邊三角形，

∴.

∵繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，.

∴是等邊三角形.

∴.

∴.

∴四邊形是菱形.

（2）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：.

（3）四邊形是正方形.理由如下：

∵繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，.

∵，

∴.

∴四邊形是矩形.

∵，

∴四邊形是正方形.

（4）如圖，連接.

∵四邊形是正方形，

∴.

∵繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，，∴.

∵將沿折疊得到，

∴，.

∴.

∴，即.

∵，

∴.

在和中，，

∴.

∴.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，若干個全等的正五邊形排成環(huán)狀，圖中所示的是前3個正五邊形，要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個數(shù)為（　�。�

A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別角與A、B兩點(diǎn)，P、Q分別是線段OB、AB上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)P從O出發(fā)一每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時Q從B出發(fā)，以每秒5個單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時整個運(yùn)動結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時間為t秒。

（1）求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示）

（2）若C為OA的中點(diǎn)，連接PQ、CQ，以PQ、CQ為鄰邊作PQCD.

①是否存在時間t，使得坐標(biāo)軸切好將PQCD的面積分為1:5的兩個部分，若存在，求出t的值;若不存在，請說明理由.

②直接寫出整個運(yùn)動過程中PQCD對角線DQ的取值范圍.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知△AOB和△A1OB1是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且△AOB和△A1OB1的周長之比為1：2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2），則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（　　）

A. B. C. D.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（問題）如圖①，在a×b×c（長×寬×高，其中a，b，c為正整數(shù)）個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數(shù)是多少？

（探究）

探究一：

（1）如圖②，在2×1×1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上共有1+2==3條線段，棱AC，AD上分別只有1條線段，則圖中長方體的個數(shù)為3×1×1=3．

（2）如圖③，在3×1×1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上共有1+2+3==6條線段，棱AC，AD上分別只有1條線段，則圖中長方體的個數(shù)為6×1×1=6．

（3）依此類推，如圖④，在a×1×1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上共有1+2+…+a=線段，棱AC，AD上分別只有1條線段，則圖中長方體的個數(shù)為______．

探究二：

（4）如圖⑤，在a×2×1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有條線段，棱AC上有1+2==3條線段，棱AD上只有1條線段，則圖中長方體的個數(shù)為×3×1=．

（5）如圖⑥，在a×3×1個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有條線段，棱AC上有1+2+3==6條線段，棱AD上只有1條線段，則圖中長方體的個數(shù)為______．

（6）依此類推，如圖⑦，在a×b×1個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數(shù)為______．

探究三：

（7）如圖⑧，在以a×b×2個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有條線段，棱AC上有

條線段，棱AD上有1+2==3條線段，則圖中長方體的個數(shù)為××3=．

（8）如圖⑨，在a×b×3個小立方塊組成的長方體中，棱AB上有條線段，棱AC上有條線段，棱AD上有1+2+3==6條線段，則圖中長方體的個數(shù)為______．

（結(jié)論）如圖①，在a×b×c個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數(shù)為______．

（應(yīng)用）在2×3×4個小立方塊組成的長方體中，長方體的個數(shù)為______．

（拓展）

如果在若干個小立方塊組成的正方體中共有1000個長方體，那么組成這個正方體的小立方塊的個數(shù)是多少？請通過計算說明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某小學(xué)學(xué)生較多，為了便于學(xué)生盡快就餐，師生約定：早餐一人一份，一份兩樣，一樣一個，食堂師傅在窗口隨機(jī)發(fā)放（發(fā)放的食品價格一樣），食堂在某天早餐提供了豬肉包、面包、雞蛋、油餅四樣食品．

（1）按約定，“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個油餅”是 事件；（可能，必然，不可能）

（2）請用列表或樹狀圖的方法，求出小張同學(xué)該天早餐剛好得到豬肉包和油餅的概率．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知：正方形與正方形共頂點(diǎn).

（1）探究：如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，點(diǎn)在正方形的邊上，連接.求證：；

（2）拓展：將如圖中正方形繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（3）運(yùn)用：正方形在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線上時，如圖所示，延長交于點(diǎn).若，GH=2，求的長.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于邊D，交AC邊于點(diǎn)G，過D作⊙O的切線EF，交AB的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E．

（1）求證：BD=CD；

（2）若AE=6，BF=4，求⊙O的半徑．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，給出下列四個結(jié)論：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A.4個B.3個C.2個D.1個

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