Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑, BM切⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)）,過(guò)O作OQ∥AP交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作于C，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié).

（1）求證：PQ與⊙O相切；

（2）若直徑AB的長(zhǎng)為12，PC=2EC，求tan∠E的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接OP，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APO=∠OAP，推出△POQ≌△BOQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OPQ=∠OBQ=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）由OQ∥AP，可得△COE∽△CAP,從而列比例式求出PC的長(zhǎng)； 由OQ∥AP，∠E=∠APC，所以tan∠E=，從而求得結(jié)果.

解：(1)連接OP，

∵OQ∥AP，∴∠A=∠BOQ，∠APO=∠POQ，

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO．

∴∠BOQ=∠POQ,

在△OQB與△OQP中，

∠BOQ=∠POQ，OP=OB，OQ=OQ，

∴△OQB≌△OQP,

∴∠OBQ=∠OPQ，PQ=BQ．

∵BM切⊙O于點(diǎn)B,∴∠OBQ=∠OPQ=90°．

∴PQ與⊙O相切；

(2) ∵OQ∥AP，∴△COE∽△CAP,∴,

由AB的長(zhǎng)為12，

∴OA=6.

∵PC=2EC， ∴OC=2，AC=4,

∴.

由OQ∥AP，∠E=∠APC，

∴tan∠E=.