【題目】定義:P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點,線段PQ的長度的最小值叫做線段a與線段b的距離. 已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐標系中四點.

(1)根據(jù)上述定義,當m=2,n=2時,如圖1,線段BC與線段OA的距離是;當m=5,n=2時,如圖2,線段BC與線段OA的距離為;
(2)如圖3,若點B落在圓心為A,半徑為2的圓上,線段BC與線段OA的距離記為d,求d關(guān)于m的函數(shù)解析式.
(3)當m的值變化時,動線段BC與線段OA的距離始終為2,線段BC的中點為M, ①求出點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長;
②點D的坐標為(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x軸,垂足為H,是否存在m的值使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:當m=2,n=2時,

如題圖1,線段BC與線段OA的距離(即線段BN的長)=2;

當m=5,n=2時,

B點坐標為(5,2),線段BC與線段OA的距離,即為線段AB的長,

如答圖2,過點B作BN⊥x軸于點N,則AN=1,BN=2,

在Rt△ABN中,由勾股定理得:AB= = =


(2)解:如答圖2所示,當點B落在⊙A上時,m的取值范圍為2≤m≤6:

當4≤m≤6,顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑,即d=2;

當2≤m<4時,作BN⊥x軸于點N,線段BC與線段OA的距離等于BN長,

ON=m,AN=OA﹣ON=4﹣m,在Rt△ABN中,由勾股定理得:

∴d= = =


(3)解:①依題意畫出圖形,點M的運動軌跡如答圖3中粗體實線所示:

由圖可見,封閉圖形由上下兩段長度為8的線段,以及左右兩側(cè)半徑為2的半圓所組成,

其周長為:2×8+2×π×2=16+4π,

∴點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長為:16+4π.

②結(jié)論:存在.

∵m≥0,n≥0,∴點M位于第一象限.

∵A(4,0),D(0,2),∴OA=2OD.

如答圖所示,相似三角形有三種情形:

(i)△AM1H1,此時點M縱坐標為2,點H在A點左側(cè).

如圖,OH1=m+2,M1H1=2,AH1=OA﹣OH1=2﹣m,

由相似關(guān)系可知,M1H1=2AH1,即2=2(2﹣m),

∴m=1;

(ii)△AM2H2,此時點M縱坐標為2,點H在A點右側(cè).

如圖,OH2=m+2,M2H2=2,AH2=OH2﹣OA=m﹣2,

由相似關(guān)系可知,M2H2=2AH2,即2=2(m﹣2),

∴m=3;

(iii)△AM3H3,此時點B落在⊙A上.

如圖,OH3=m+2,AH3=OH3﹣OA=m﹣2,

過點B作BN⊥x軸于點N,則BN=M3H3=n,AN=m﹣4,

由相似關(guān)系可知,AH3=2M3H3,即m﹣2=2n (1)

在Rt△ABN中,由勾股定理得:22=(m﹣4)2+n2 (2)

由(1)、(2)式解得:m1= ,m2=2,

當m=2時,點M與點A橫坐標相同,點H與點A重合,故舍去,

∴m=

綜上所述,存在m的值使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似,m的取值為:1、3或


【解析】(1)理解新定義,按照新定義的要求求出兩個距離值;(2)如答圖2所示,當點B落在⊙A上時,m的取值范圍為2≤m≤6: 當4≤m≤6,顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑,即d=2;
當2≤m<4時,作BN⊥x軸于點N,線段BC與線段OA的距離等于BN長;(3)①在準確理解點M運動軌跡的基礎(chǔ)上,畫出草圖,如答圖3所示.由圖形可以直觀求出封閉圖形的周長;②如答圖4所示,符合題意的相似三角形有三個,需要進行分類討論,分別利用點的坐標關(guān)系以及相似三角形比例線段關(guān)系求出m的值.

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