Question

已知，如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，兩直角邊AC、BC的長是關(guān)于x的方程x²-（m+5）x+6m=0的兩個實數(shù)根．
（1）求m的值及AC、BC的長（BC＞AC）；
（2）在線段BC的延長線上是否存在點D，使得以D、A、C為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出CD的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)方程x²-（m+5）x+6m=0的兩個根分別是x₁、x₂
∴x₁+x₂=m+5，x₁•x₂=6m
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+5）²-2×6m
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5
∴x₁²+x₂²=AB²
∴（m+5）²-2×6m=5²∴m²-2m=0
∴m=0或m=2
當m=0時，原方程的解分別為x₁=0，x₂=5，但三角形的邊長不能為0，所以m=0舍去．
當m=2時，原方程為x²-7x+12=0，其解為x₁=3，x₂=4，所以兩直角邊AC=3，BC=4
∴m=2，AC=3，BC=4

（2）存在；
已知AC=3，BC=4，AB=5
欲使以△AD₁C為頂點的三角形與△ABC相似，則

AB

AD1

=

AC

CD1

=

BC

AC

，∴

3

CD1

=

4

3

，則CD=

9

4

欲使以△AD₂C為頂點的三角形與△ABC相似，則

AB

AD2

=

BC

CD2

=

AC

AC

，∴BC=CD₂=4