Question

【題目】如圖，已知點A（1，0），B（0，3），將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，設E為AD的中點．

（1）若F為CD上一動點，求出當△DEF與△COD相似時點F的坐標；

（2）過E作x軸的垂線l，在直線l上是否存在一點Q，使∠CQO＝∠CDO？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）F（﹣1，）或F（﹣，）；（2）Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．

【解析】

（1）當△DEF∽△COD時，，DF＝DEcos∠CDO＝，據(jù)此求出EF的長度和點F的坐標即可；

（2）首先以CD為直徑作圓，設其圓心為P，交直線a于點Q、Q′，連接PQ，P Q′，由圓周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，則PQ＝CD＝；然后求出點P的坐標是多少；設Q（﹣1，a），則（）2+（a﹣）2＝，據(jù)此求出a的值是多少，進而求出Q點坐標是多少即可．

（1）∵A（1，0），B（0，3），

∴OA＝1，OB＝3，

∵將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，

∴OC＝1，OD＝3，

∴C（0，1），D（﹣3，0），

如圖1，當△DEF∽△COD時，，

∴EF＝，

∴F（﹣1，）；

當△DEF∽△COD時，DF＝DEcos∠CDO＝，

作FK⊥OD于K，

則FK＝DFsin∠CDO＝，DK＝DFcos∠CDO＝，

∴F（﹣，）；

（2）如圖2，以CD為直徑作圓，設其圓心為P，交直線a于點Q、Q′，連接PQ，P Q′，

由圓周角定理，

可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，

在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，

則PQ＝CD＝，

又∵P為CD中點，P（﹣，），

設Q（﹣1，a），

則（）2+（a﹣）2＝，

解得a＝2或﹣1，

∴Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．