Question

【題目】如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=2 ．試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB= ．

Answer 1

【答案】8
【解析】解：過A作直線a的垂線，并在此垂線上取點A′，使得AA′=4，連接A′B，與直線b交于點N，過M作直線a的垂線，交直線a于點N，連接AN，過點B作BE⊥AA′，交射線AA′于點E，如圖．

∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN．
又∵AA′=MN=4，
∴四邊形AA′NM是平行四邊形，
∴AM=A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定為4，所以AM+NB最小．
由兩點之間線段最短，可知AM+NB的最小值為A′B．
∵AE=2+3+4=9，AB=2 ，
∴BE= = ，
∵A′E=AE﹣AA′=9﹣4=5，
∴A′B= =8
所以AM+NB的最小值為8．
所以答案是：8．
【考點精析】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題的相關(guān)知識點，需要掌握已知起點結(jié)點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結(jié)點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結(jié)點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能正確解答此題．