Question

在△ABC中，AC=BC，

（1）如圖①，如果CD為底邊AB上的中線，∠BCD=20°，CD=CE，則∠ADE=

 

°
（2）如圖②，如果CD為底邊AB上的中線，∠BCD=30°，CD=CE，則∠ADE=

 

°
（3）思考：通過(guò)以上兩題，你發(fā)現(xiàn)∠BCD與∠ADE之間有什么關(guān)系？請(qǐng)用式子表示：

 

（4）如圖③，CD不是AB上的中線，CD=CE，是否依然有上述關(guān)系？如果有，請(qǐng)寫出來(lái)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠ECD=∠BCD=20°，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠A=70°，∠CED=80°，再由三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得出∠ADE=∠CED-∠A；
（2）同（1），先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠ECD=∠BCD=30°，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠A=60°，∠CED=75°，再由三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得出∠ADE=∠CED-∠A；
（3）由（1）（2）中∠BCD與∠ADE的度數(shù)關(guān)系，容易發(fā)現(xiàn)∠BCD=2∠ADE；
（4）根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)及等式的性質(zhì)即可證明∠BCD=2∠ADE依然成立．

解答：解：（1）∵AC=BC，CD為底邊AB上的中線，
∴∠ECD=∠BCD=20°，CD⊥AB，
∴∠A=90°-∠ECD=70°．
又∵CD=CE，
∴∠CED=

180°-∠ECD

2

=80°，
∴∠ADE=∠CED-∠A=80°-70°=10°；     

 （2）∵AC=BC，CD為底邊AB上的中線，
∴∠ECD=∠BCD=30°，CD⊥AB，
∴∠A=90°-∠ECD=60°．
又∵CD=CE，
∴∠CED=

180°-∠ECD

2

=75°，
∴∠ADE=∠CED-∠A=75°-60°=15°；     

 （3）∵∠BCD=20°時(shí)，∠ADE=10°；
∠BCD=30°時(shí)，∠ADE=15°；
∴∠BCD=2∠ADE．

（4）依然有∠BCD=2∠ADE．理由如下：
∵AC=BC，∴∠A=∠B．
∵∠BCD+∠B=∠ADE+∠CDE，
∴∠BCD+∠A=∠ADE+∠CDE．
∵CD=CE，∴∠CED=∠CDE，
∴∠BCD+∠A=∠ADE+∠CED，
∵∠CED=∠A+∠ADE，
∴∠BCD+∠A=∠ADE+∠A+∠ADE，
∴∠BCD=2∠ADE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．本題四問(wèn)，循序漸進(jìn)，體現(xiàn)了由特殊到一般的規(guī)律．