【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCO是菱形,且AOC=60°,點B的坐標(biāo)是(0,8),點P從點C開始以每秒個單位長度的速度沿線段CB向點B移動,同時,點Q從點O開始以每秒3個單位長度的速度沿射線OA方向移動,點P運動到點B時,兩點停止運動.直線PQOB于點D,運動時間為t秒.

(1)直接寫出點A的坐標(biāo);

(2)求t為何值時,直線PQ與菱形ABCO的邊互相垂直;

(3)如果將題中的條件變?yōu)辄cP的速度為每秒1個單位,點Q的速度為每秒a(1a3)單位,設(shè)運動時間為t(0<t8),其它條件不變.當(dāng)a為何值時,以O,Q,D為頂點的三角形與OAB相似?請給出你的結(jié)論,并加以證明.

【答案】(1)A(4,4).(2)t=2,t=8;(3)3.

【解析】

試題分析:(1)連接AC交OB于點M,根據(jù)菱形的性質(zhì),在RTAMO中,求出AM、OM即可.

(2)分兩種情形如圖1中,當(dāng)PQOA時,過C作CHOA于H,如圖2中,當(dāng)PQAB時,過P作PNAB交射線OA于N,分別利用直角三角形30度性質(zhì)列出方程即可解決.

(3)當(dāng)a=1,a=3時,以O(shè),Q,D為頂點的三角形與OAB相似,當(dāng)a=1,ODQ∽△OBA,a=3時,ODQ∽△OAB分別根據(jù)相似三角形性質(zhì)列出方程即可解決.

試題解析:(1)連接AC交OB于點M,

∵∠AOC=60°,四邊形ABCO是菱形,

AC垂直平分OB,OM=OB=4,AOM=30°,

AM=4,

點D坐標(biāo)為A(4,4).

(2)如圖1中,當(dāng)PQOA時,過C作CHOA于H,

PQCH,PCQH,

四邊形PCHQ是平行四邊形,

∵∠CHQ=90°,

四邊形PCHQ是矩形,

PC=QH=t,OQ=3t,OCH=30°,OH=2t=OC=4,

t=2.

如圖2中,當(dāng)PQAB時,過P作PNAB交射線OA于N,

由菱形ABCO,PN=AB=8,

OQ=3t,CP=t,PQN=30°,NQ=2t=16,

t=8,

即當(dāng)t=2,t=8時,直線PQ與菱形ABCO的邊互相垂直.

(3)當(dāng)a=1,a=3時,以O(shè),Q,D為頂點的三角形與OAB相似,

當(dāng)a=1,ODQ∽△OBA,

證明:由ODQ∽△OBA,可得ODQ=OBA,此時PQAB,

四邊形PCOQ為平行四邊形,

CP=OQ,即at=t,(0<t8)

a=1時,ODQ∽△OBA,

a=3時,ODQ∽△OAB

當(dāng)P與B重合時,D點也與B重合,此時t=8,

ODQ∽△OAB,得

OD=OB,

OB2=OAOQ,

82=8×8a,

a=3,

a=3,ODQ∽△OAB.

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號碼

1

2

3

4

5

誤差(g)

-0.02

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-0.23

-0.3

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