Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是線(xiàn)段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將線(xiàn)段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段DE，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)l⊥x軸于H，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l于F．

（1）求拋物線(xiàn)解析式；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F恰好在拋物線(xiàn)上時(shí)，求線(xiàn)段OD的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下：

①連接DF，求tan∠FDE的值；

②試探究在直線(xiàn)l上，是否存在點(diǎn)G，使∠EDG=45°？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1；（3）①；②G（4，）或（4，6）．

【解析】

（1）把A、B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，解方程組即可；

（2）由C的縱坐標(biāo)求得F的坐標(biāo)，由△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的長(zhǎng)；

（3）①先確定C、D、E、F四點(diǎn)共圓，由圓周角定理求得∠ECF=∠EDF，由tan∠ECF==，得到tan∠FDE=；

②連接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，∠CED=45°，過(guò)D點(diǎn)作DG1∥CE，交直線(xiàn)l于G1，過(guò)D點(diǎn)作DG2⊥CE，交直線(xiàn)l于G2，則∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直線(xiàn)CE的解析式為，設(shè)直線(xiàn)DG1的解析式為，設(shè)直線(xiàn)DG2的解析式為，把D的坐標(biāo)代入即可求得m、n，從而求得解析式，進(jìn)而求得G的坐標(biāo)．

（1）如圖1，∵拋物線(xiàn)交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線(xiàn)解析式為；

（2）如圖2，∵點(diǎn)F恰好在拋物線(xiàn)上，C（0，3），∴F的縱坐標(biāo)為3，把y=3代入得，，解得x=0或x=4，∴F（4，3），∴OH=4，∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠EDH=90°，∴∠OCD=∠EDH，在△OCD和△HDE中，∵∠OCD=∠EDH，∠COD=∠DHE=90°，CD=DE，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH=OC=3，∴OD=4﹣3=1；

（3）①如圖3，連接CE，∵△OCD≌△HDE，∴HE=OD=1，∵BF=OC=3，∴EF=3﹣1=2，∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠ECF=∠EDF，在RT△CEF中，∵CF=OH=4，∴tan∠ECF==，∴tan∠FDE=；

②如圖4，連接CE，∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，過(guò)D點(diǎn)作DG1∥CE，交直線(xiàn)l于G1，過(guò)D點(diǎn)作DG2⊥CE，交直線(xiàn)l于G2，則∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，∵EH=1，OH=4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直線(xiàn)CE的解析式為，設(shè)直線(xiàn)DG1的解析式為，∵D（1，0），∴，解得m=，∴直線(xiàn)DG1的解析式為，當(dāng)x=4時(shí)，=，∴G1（4，）；

設(shè)直線(xiàn)DG2的解析式為，∵D（1，0），∴0=2×1+n，解得n=﹣2，∴直線(xiàn)DG2的解析式為，當(dāng)x=4時(shí)，y=2×4﹣2=6，∴G2（4，6）；

綜上，在直線(xiàn)l上，是否存在點(diǎn)G，使∠EDG=45°，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4，）或（4，6）．