Question

【題目】某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：

●操作發(fā)現(xiàn)：

在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是 （填序號(hào)即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；④∠DAB=∠DMB．

●數(shù)學(xué)思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；

●類(lèi)比探索：

在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．

答： ．

Answer 1

【答案】詳見(jiàn)解析

【解析】

（1） 由圖形的對(duì)稱(chēng)性易知①、②、③都正確，④∠DAB=∠DMB=450也正確。

（2）受圖1△DFM≌△MGE的啟發(fā)，應(yīng)想到取中點(diǎn)構(gòu)造全等來(lái)證MD=ME，證MD⊥ME就是要證∠DME=900，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四個(gè)角相加為180°，∠FMG可看成三個(gè)角的和，通過(guò)變形計(jì)算可得∠DME=900。

（3）在（2）的基礎(chǔ)易知為等腰直角三解形。

解：

●操作發(fā)現(xiàn)：①②③④。

●數(shù)學(xué)思考：答：MD=ME，MD⊥ME， 證明如下：

１、MD=ME：

如圖，分別取AB，AC的中點(diǎn)F，G，連接DF，MF，MG，EG，

∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴MF∥AC，MF=AC。

又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線，

∴EG⊥AC且EG=AC。

∴MF=EG。

同理可證DF=MG。

∵M(jìn)F∥AC，∴∠MFA＋∠BAC=1800。

同理可得∠MGA+∠BAC=1800。

∴∠MFA=∠MGA。

又∵EG⊥AC，∴∠EGA=900。

同理可得∠DFA=900。

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，即∠DFM=∠MEG。

又MF=EG，DF=MG，∴△DFM≌△MGE（SAS）。∴MD=ME。

2、MD⊥ME：

∵M(jìn)G∥AB，∴∠MFA+∠FMG=1800。

又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF。

∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=1800。

∵∠MFA+∠FMD+∠MDF=900，∴∠DME=90°，即MD⊥ME。

●類(lèi)比探究：答：等腰直角三解形。