【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點,長方形OACB的頂點A、B分別在x軸與y軸上,已知OA=6,OB=10.點Dy軸上一點,其坐標(biāo)為(0,2),點P從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運動,當(dāng)點P與點B重合時停止運動,運動時間為t秒.

(1)當(dāng)點P經(jīng)過點C時,求直線DP的函數(shù)解析式;

(2)①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式;

②如圖②,把長方形沿著OP折疊,點B的對應(yīng)點B′恰好落在AC邊上,求點P的坐標(biāo).

(3)點P在運動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x+2;(2)y=x+2;(2)S=﹣2t+16,②點P的坐標(biāo)是(,10);(3)存在,滿足題意的P坐標(biāo)為(6,6)或(6,2+2)或(6,10﹣2).

【解析】分析:(1)設(shè)直線DP解析式為y=kx+b,將D與B坐標(biāo)代入求出k與b的值,即可確定出解析式;
(2)①當(dāng)P在AC段時,三角形ODP底OD與高為固定值,求出此時面積;當(dāng)P在BC段時,底邊OD為固定值,表示出高,即可列出S與t的關(guān)系式;
設(shè)P(m,10),則PB=PB′=m,根據(jù)勾股定理求出m的值,求出此時P坐標(biāo)即可;
(3)存在,分別以BD,DP,BP為底邊三種情況考慮,利用勾股定理及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)求出P坐標(biāo)即可.

詳解:(1)如圖1,

∵OA=6,OB=10,四邊形OACB為長方形,

∴C(6,10).

設(shè)此時直線DP解析式為y=kx+b,

把(0,2),C(6,10)分別代入,得

,解得

則此時直線DP解析式為y=x+2;

(2)①當(dāng)點P在線段AC上時,OD=2,高為6,S=6;

當(dāng)點P在線段BC上時,OD=2,高為6+10﹣2t=16﹣2t,S=×2×(16﹣2t)=﹣2t+16;

②設(shè)P(m,10),則PB=PB′=m,如圖2,

∵OB′=OB=10,OA=6,

∴AB′==8,

∴B′C=10﹣8=2,

∵PC=6﹣m,

∴m2=22+(6﹣m)2,解得m=

則此時點P的坐標(biāo)是(,10);

(3)存在,理由為:

若△BDP為等腰三角形,分三種情況考慮:如圖3,

①當(dāng)BD=BP1=OB﹣OD=10﹣2=8,

Rt△BCP1中,BP1=8,BC=6,

根據(jù)勾股定理得:CP1==2,

∴AP1=10﹣2,即P1(6,10﹣2);

②當(dāng)BP2=DP2時,此時P2(6,6);

③當(dāng)DB=DP3=8時,

Rt△DEP3中,DE=6,

根據(jù)勾股定理得:P3E==2

∴AP3=AE+EP3=2+2,即P3(6,2+2),

綜上,滿足題意的P坐標(biāo)為(6,6)或(6,2+2)或(6,10﹣2).

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