如圖1所示,一張半圓形紙片,直徑AB=10,點(diǎn)C是半圓上的一個(gè)動點(diǎn).沿半徑CO把這張紙片剪出△AC1O1和△BC2O2兩個(gè)三角形(如圖2所示).將紙片△AC1O1沿直線O2B(AB)方向平移(點(diǎn)A,O1,O2,B始終在同一直線上),當(dāng)點(diǎn)O1與點(diǎn)B重合時(shí),停止平移.在平移過程中,C1O1與BC2交于點(diǎn)E,AC1與C2O2,BC2分別交于點(diǎn)F、P.
(1)當(dāng)△AC1O1平移到如圖3所示的位置時(shí),猜想圖中的O1E與O2F的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)若∠CAB=30°,設(shè)平移距離O1O2為x,△AC1O1與△BC2O2重疊部分面積為y,請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,以及自變量的取值范圍;
(3)對于(2)中的結(jié)論是否存在這樣的x的值,使重疊部分的面積等于原△ABC面積的
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.若存在,求x的值;若不存在,請說明理由.
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分析:(1)根據(jù)平移的性質(zhì),得O1B=O2A,再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明;
(2)根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上解一元二次方程即可.
解答:解:(1)O1E=O2F.理由如下:
∵O1E∥O2C2
O1E
O2C2
=
O1B
O2B
,
同理
O2F
O1C1
=
O2A
O1A

根據(jù)平移的性質(zhì),知O1B=O2A,
∴O1E=O2F.

(2)∵AB是直徑,
∴∠C=90°,
∴∠B=90°-30°=60°,
∴∠APB=90°.
在直角三角形APB中,AB=10-x,
則BP=
1
2
AB=5-
1
2
x,
則AP=5
3
-
3
2
x.
則直角三角形APB的面積是
3
8
x2-
5
3
2
x+
25
2
3

∵O1E∥O2C2,
S△O2C2B
S△O1EB
=
25
(5-x)2
,
則S△O1EB=
1
4
3
(5-x)2
,
則y=
3
8
x2-
5
3
2
x+
25
2
3
-2×
1
4
3
(5-x)2
=-
3
3
8
x2
+
5
2
3
x(0≤x≤5).

(3)根據(jù)題意,得-
3
3
8
x2
+
5
2
3
x=
1
4
×
25
2
3

解,得x=
5
3
或5.
點(diǎn)評:此題綜合考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理、平移的性質(zhì)以及三角形的面積公式,難度較大.
在求不規(guī)則圖形的面積時(shí),要哪個(gè)轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.
練習(xí)冊系列答案
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(1)指出點(diǎn)B′處的讀數(shù)是多少?說明理由.
(2)猜想:圖中有相互平行及相互垂直的線段嗎?若有,請用相應(yīng)數(shù)學(xué)符號將它們一一表示出來;若沒有,請直接作否定的回答,不必說明理由.
(3)利用此圖,你能徒手(即不能用其它畫圖工具)找出讀數(shù)為150°的點(diǎn)嗎?簡要說明你的操作方法,并在圖中標(biāo)出其大致位置(用點(diǎn)D表示).

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如圖1所示,一張半圓形紙片,直徑AB=10,點(diǎn)C是半圓上的一個(gè)動點(diǎn).沿半徑CO把這張紙片剪出△AC1O1和△BC2O2兩個(gè)三角形(如圖2所示).將紙片△AC1O1沿直線O2B(AB)方向平移(點(diǎn)A,O1,O2,B始終在同一直線上),當(dāng)點(diǎn)O1于點(diǎn)B重合時(shí),停止平移.在平移過程中,C1O1與BC2交于點(diǎn)E,AC1與C2O2,BC2分別交于點(diǎn)F、P.

(1)當(dāng)△AC1O1平移到如圖3所示的位置時(shí),猜想圖中的O1E與O2F的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;

(2)若∠CAB=30°,設(shè)平移距離O1O2為x,△AC1O1與△BC2O2重疊部分面積為y,請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,以及自變量的取值范圍;

(3)對于(2)中的結(jié)論是否存在這樣的x的值,使重疊部分的面積等于原△ABC面積的.若存在,求x的值;若不存在,請說明理由.

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(1)當(dāng)△AC1O1平移到如圖3所示的位置時(shí),猜想圖中的O1E與O2F的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)若∠CAB=30°,設(shè)平移距離O1O2為x,△AC1O1與△BC2O2重疊部分面積為y,請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,以及自變量的取值范圍;
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(1)當(dāng)△AC1O1平移到如圖3所示的位置時(shí),猜想圖中的O1E與O2F的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)若∠CAB=30°,設(shè)平移距離O1O2為x,△AC1O1與△BC2O2重疊部分面積為y,請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,以及自變量的取值范圍;
(3)對于(2)中的結(jié)論是否存在這樣的x的值,使重疊部分的面積等于原△ABC面積的.若存在,求x的值;若不存在,請說明理由.

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