【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=與拋物線y=﹣x2+bx+c交于A、B兩點,點A在x軸上,點B的橫坐標為﹣8.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線,垂足為C,交直線AB于點D,作PE⊥AB于點E.

①設△PDE的周長為m,點P的橫坐標為x,當△PDE周長m最大時,求點P的坐標,并求出m的最大值;

②連接PA,以PA為邊作圖示一側的正方形APFG(逆時針方向作正方形APFG).隨著點P的運動,正方形的大小、位置也隨之改變.當頂點F或G恰好落在y軸上時,直接寫出對應的點P的坐標.

【答案】(1)(2)①當x=﹣3時,最大值為15②存在點P1,2),P2,2),P3,

【解析】試題分析:(1)利用直線解析式求出點A、B的坐標,再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;(2)①利用直線解析式和拋物線解析式表示出PD,再利用同角的余角相等求出∠DPE=BAO,根據(jù)直線k值求出∠BAO的正弦和余弦值,然后表示出PE、DE,再根據(jù)三角形的周長公式列式整理即可得解,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答;②分(i)點Gy軸上時,過點PPHx軸于H,根據(jù)正方形的性質可得AP=AG,PAG=90°,再求出∠PAH=AGO,然后利用角角邊證明APHGAO全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PH=AO=2,然后利用二次函數(shù)解析式求解即可;(ii)點Fy軸上時,過點PMx軸于M,作PNy軸于N,根據(jù)正方形的性質可得AP=FP,APF=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠APM=FPN,然后利用角邊角證明APMFPN全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PM=PN,從而得到點P的橫坐標與縱坐標相等,再根據(jù)二次函數(shù)的解析式求解即可.

試題解析:

(1)令y=0,則x﹣=0,解得x=2,

x=﹣8時,y=×(﹣8)﹣=﹣,

∴點A(2,0),B(﹣8,﹣),

把點A、B代入拋物線得,

解得,

所以,該拋物線的解析式

(2)①∵點P在拋物線上,點D在直線上,

∴PD=﹣x2x+﹣(x﹣)=﹣x2x+4,

∵PE⊥AB,

∴∠DPE+∠PDE=90°,

又∵PD⊥x軸,

∴∠BAO+∠PDE=90°,

∴∠DPE=∠BAO,

∵直線解析式k=,

∴sin∠BAO=,cos∠BAO=,

∴PE=PDcos∠DPE=PD,

DE=PDsin∠DPE=PD,

∴△PDE的周長為m=PD+PD+PD=PD=(﹣x2x+4)=﹣x2x+,

即m=﹣x2x+;

∵m=﹣(x2+6x+9)+15,

∴當x=﹣3時,最大值為15;

②∵點A(2,0),

∴AO=2,

分(i)點G在y軸上時,過點P作PH⊥x軸于H,

在正方形APFG中,AP=AG,∠PAG=90°,

∵∠PAH+∠OAG=90°,∠AGO+∠OAG=90°,

∴∠PAH=∠AGO,

在△APH和△GAO中,

,

∴△APH≌△GAO(AAS),

∴PH=AO=2,

∴點P的縱坐標為2,

∴﹣x2x+=2,

整理得,x2+3x﹣2=0,

解得x=,

∴點P1,2),P2,2);

(ii)點F在y軸上時,過點PM⊥x軸于M,作PN⊥y軸于N,

在正方形APFG中,AP=FP,∠APF=90°,

∵∠APM+∠MPF=90°,∠FPN+∠MPF=90°,

∴∠APM=∠FPN,

在△APM和△FPN中,

∴△APM≌△FPN(AAS),

∴PM=PN,

∴點P的橫坐標與縱坐標相等,

∴﹣x2x+=x,

整理得,x2+7x﹣10=0,

解得x1=,x2=(舍去),

∴點P3,

綜上所述,存在點P1,2),P2,2),P3,).

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將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中∠DAB=90°,求證:a2+b2=c2
證明:連結DB,過點D作BC邊上的高DF,則DF=EC=b﹣a
∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab.
又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b﹣a)
b2+ab=c2+a(b﹣a)
∴a2+b2=c2
請參照上述證法,利用圖2完成下面的證明.
將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中∠DAB=90°.求證:a2+b2=c2

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