Question

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E是DB延長線上一點，且△ACE是等邊三角形．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若∠AEB=2∠EAB，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AO=CO．又由△ACE是等邊三角形，可得AE=CE．根據(jù)三線合一，對角線垂直，即可得四邊形既為菱形;

（2）根據(jù)有一個角是90°的菱形是正方形．由題意易得∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°，所以四邊形ABCD是菱形，∠BAD=2∠BAO=90°，即四邊形ABCD是正方形．

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO．

∵△ACE是等邊三角形，

∴AE=CE．

∴BE⊥AC．

∴四邊形ABCD是菱形．

（2）從上易得：△AOE是直角三角形，

∴∠AEB+∠EAO=90°

∵△ACE是等邊三角形，

∴∠EAO=60°，

∴∠AEB=30°

∵∠AEB=2∠EAB，

∴∠EAB=15°，

∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60°﹣15°=45°．

又∵四邊形ABCD是菱形．

∴∠BAD=2∠BAO=90°

∴四邊形ABCD是正方形．