Question

（2012•北京二模）已知：如圖，BP是正方形ABCD的一條外角平分線，點E在AB邊上，EP⊥ED，EP交BC邊于點F．
（1）若AE：EB=1：2，求cos∠BEP的值；
（2）請你在圖上作直線CM⊥DE，CM與直線AD交于點M，猜想：四邊形MEPC的形狀有什么特點？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）首先利用已知得出∠BEP=∠BEF=∠ADE，進(jìn)而得出AE：AB=AE：AD=1：3，即可求出cos∠BEP的值；
（2）首先利用已知得出△ADE≌△DCM，即可得出CM=DE，再得出△BEN∽△BAD，利用三角形全等關(guān)系得出△NED≌△BEP，即可得出DE=PE=CM，利用平行四邊形的判定得出四邊形MEPC是平行四邊形．

解答：解：（1）∵EP⊥ED，∴∠DEP=90°．
∴∠BEF=180°-∠DEP-∠AED=90°-∠AED．
又∵∠ADE=90°-∠AED，
∴∠BEP=∠BEF=∠ADE．
∵AE：EB=1：2，
∴AE：AB=AE：AD=1：3．
不妨設(shè)AE=1，則AD=3，DE=

10

，cos∠ADE=

3

10

=

3 10

10

．
∴cos∠BEP=

3 10

10

．

（2）作圖符合題意，
猜想：四邊形MEPC是平行四邊形．
證明：∵CM⊥DE，EP⊥ED，∴CM∥EP．
∵∠DCM+∠NDC=90°，∠MDN+∠CDN=90°，
∴∠ADE=∠DCM，
在△ADE和△DCM中，
∵

∠DCM=∠ADE CD=AD ∠CDM=∠A

∴△ADE≌△DCM（ASA），∴CM=DE．
連接BD，作EN∥AD交BD于N，
則△BEN∽△BAD．
又∵四邊形ABCD是正方形，BP是外角平分線．
∴EN=EB，∠END=∠EBP=135°．
∵EN∥AD，∴∠NED=∠ADE=∠BEP．
在△NED和△BEP中，
∵

∠END=∠EBP NE=BE ∠NED=∠BEP

，
∴△NED≌△BEP（ASA）．
∴DE=PE=CM．
∴四邊形MEPC是平行四邊形．
（注：此題證明方法很多，不逐一列舉）

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出正確輔助線得出DE=PE=CM是解題關(guān)鍵．