Question

【題目】已知，如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，O為BC延長線上一點，CO=3，過O，A作直線l，將l繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，l與AB交于點D，與AC交于點E，當(dāng)l與OB重合時，停止旋轉(zhuǎn)；過D作DM⊥AE于M，設(shè)AD=x，S△ADE=S．

（1）用含x的代數(shù)式表示DM，AM的長；
（2）當(dāng)直線l過AC中點時，求x的值；
（3）用含x的代數(shù)式表示AE的長；
（4）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（5）當(dāng)x為多少時，DO⊥AB．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

在Rt△ABC中，BC=6，AC=8，

∴AB=10，

∵DM⊥AC，BC⊥AC，

∴DM∥BC，

∴ ，

∴ ，

∴DM= x，

（2）

如圖2，

∵直線l過AC中點，

∴AE=CE= AC=4，

∵DM∥BC，

∴ ，

∴ ①，

∵DM∥BC，

∴

∴ ，

∴ ②，

由①②得，AM=ME= AE=2，

∵DM∥BC，

∴ ，

∴ ，

∴x= ，

（3）

由（1）有，DM= x，

在Rt△ADM中，AM= x，

∴MC=8﹣AM=8﹣ x，

∵DM∥BC，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ME= ，

∴AE=AM+ME= ，

（4）

解：由DM= x，AE= x﹣ x2，

∴S= AE×DM= × x×（ x﹣ x2）= x2﹣ x3，

（5）

解：∵DO⊥AB，

∴∠B+∠BOD=90°，

∵∠B+∠BAC=90°，

∴∠BOD=∠BAC，

∴△OBD∽△ABC，

∴ ，

∴ ，

∴BD=5.4，

∴x=AD=AB﹣BD=10﹣5.4=4.6．

【解析】探究1，根據(jù)勾股定理求出AB=10，再由DM∥BC，得出 ，求出DM；探究2，由直線l過AC中點，得到AE=CE= AC=4，再由DM∥BC， ， ，求出AM=ME= AE=2，從而求出x；探究3，由DM，AM，求出MC，再由DM∥BC，得出比例式求出ME，從而得到AE；發(fā)現(xiàn)：由探究1，得到DM，再由探究3，得到AE求出S；探究4，由DO⊥AB，得到∠B+∠BOD=90°，判斷出△OBD∽△ABC，求出BD即可，
【考點精析】本題主要考查了平行線分線段成比例和相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識點，需要掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題．