Question

【題目】閱讀理解：在平面直角坐標系中，若兩點P、Q的坐標分別是P（x1，y1）、

Q（x2，y2），則P、Q這兩點間的距離為|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），則|PQ|==2．

對于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．如平面內(nèi)到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線．

解決問題：如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+交y軸于點A，點A關(guān)于x軸的對稱點為點B，過點B作直線l平行于x軸．

（1）到點A的距離等于線段AB長度的點的軌跡是　 　；

（2）若動點C（x，y）滿足到直線l的距離等于線段CA的長度，求動點C軌跡的函數(shù)表達式；

問題拓展：（3）若（2）中的動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點，分別過E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，求證：①EF是△AMN外接圓的切線；②為定值．

Answer 1

【答案】（1）x2+（y﹣）2=1；（2）動點C軌跡的函數(shù)表達式y=x2；（3）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）利用兩點間的距離公式即可得出結(jié)論；

（2）利用兩點間的距離公式即可得出結(jié)論；

（3）①先確定出m+n=2k，mn=﹣1，再確定出M（m，﹣），N（n，﹣），進而判斷出△AMN是直角三角形，再求出直線AQ的解析式為y=﹣x+，即可得出結(jié)論；

②先確定出a=mk+，b=nk+，再求出AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，即可得出結(jié)論．

（1）設(shè)到點A的距離等于線段AB長度的點D坐標為（x，y），

∴AD2=x2+（y﹣）2，

∵直線y=kx+交y軸于點A，

∴A（0，），

∵點A關(guān)于x軸的對稱點為點B，

∴B（0，﹣），

∴AB=1，

∵點D到點A的距離等于線段AB長度，

∴x2+（y﹣）2=1，

故答案為：x2+（y﹣）2=1；

（2）∵過點B作直線l平行于x軸，

∴直線l的解析式為y=﹣，

∵C（x，y），A（0，），

∴AC2=x2+（y﹣）2，點C到直線l的距離為：（y+），

∵動點C（x，y）滿足到直線l的距離等于線段CA的長度，

∴x2+（y﹣）2=（y+）2，

∴動點C軌跡的函數(shù)表達式y=x2；

（3）①如圖，

設(shè)點E（m，a）點F（n，b），

∵動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點，

∴，

∴x2﹣2kx﹣1=0，

∴m+n=2k，mn=﹣1，

∵過E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，

∴M（m，﹣），N（n，﹣），

∵A（0，），

∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，

MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，

∴AM2+AN2=MN2，

∴△AMN是直角三角形，MN為斜邊，

取MN的中點Q，

∴點Q是△AMN的外接圓的圓心，

∴Q（k，﹣），

∵A（0，），

∴直線AQ的解析式為y=﹣x+，

∵直線EF的解析式為y=kx+，

∴AQ⊥EF，

∴EF是△AMN外接圓的切線；

②∵點E（m，a）點F（n，b）在直線y=kx+上，

∴a=mk+，b=nk+，

∵ME，NF，EF是△AMN的外接圓的切線，

∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，

∴==2，

即：為定值，定值為2．