Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，BD＝2AD，E，F，G分別是OA，OB，CD的中點，EG交FD于點H．則下列結論：①ED⊥CA；②EF＝CG；③EH=EG；④S△EFD＝S△CEG成立的個數(shù)有（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

由平行四邊形性質和等腰三角形“三線合一”即可得ED⊥CA，根據(jù)三角形中位線定理可得EF＝AB；由直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半可得EG＝CD，即可得EF＝EG；連接EG，可證四邊形DEFG是平行四邊形，即可得；由三角形中位線定理可證得S△OEF＝S△AOB，進而可得S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝SABCD+SABCD＝SABCD，再根據(jù)E、G分別是OA、CD中點，可得S△CEG＝S△CDE＝SABCD，即可得S△EFD＝S△CEG．

解：如圖，連接FG，

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD

∵BD＝2AD

∴OD＝AD

∵點E為OA中點

∴ED⊥CA，故①正確；

∵E，F，G分別是OA，OB，CD的中點，

∴EF∥AB，EF＝AB，S△OEF＝S△AOB，

∵∠CED＝90°，CG＝DG＝CD

∴EG＝CD

∴EF＝EG，故②正確；

∵EF∥CD，EF＝DG

∴四邊形DEFG是平行四邊形

∴EH＝HG

即，故③正確；

∵S△AOB＝S△AOD＝SABCD，S△ACD＝SABCD，

∴S△OEF＝SABCD，

∵AE＝OE

∴S△ODE＝S△AOD＝SABCD，

∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝SABCD+SABCD＝SABCD，

∵

∴CE＝AC

∴S△CDE＝S△ACD＝SABCD，

∵CG＝DG

∴S△CEG＝S△CDE＝SABCD，

∴S△EFD＝S△CEG，故④正確；

故選：D．