【題目】如圖,BC8cm,點(diǎn)D是線段BC上的一點(diǎn),分別以BD、CD為邊在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形CDEAC、BE相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(含與點(diǎn)B、C重合)為_____

【答案】

【解析】

作△BCP的外接圓⊙O,過點(diǎn)OOFBCF,延長OF交⊙OG,連接BGCG,OBOC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系可得∠BDE=ADC,∠ABD=EDC=60°,可得AB//DE,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABE=BED,利用SAS可證明△BDE≌△ADC,可得∠BED=ACD,進(jìn)而可證明∠EBD+ACD=ABD=60°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC=120°,根據(jù)圓周角定理可得點(diǎn)P在△BCP的外接圓上,∠BPC=BGC=120°,可得點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(含與點(diǎn)BC重合)為的長,根據(jù)圓周角定理可得∠BOC=120°,根據(jù)垂徑定理可得BF的長,利用勾股定理即可求出OB的長,利用弧長公式求出的長即可得答案.

作△BCP的外接圓⊙O,過點(diǎn)OOFBCF,延長OF交⊙OG,連接BG,CGOB,OC

∵△ABD和△CDE是等邊三角形,

∴∠ABD=EDC=60°

AB//DE,∠ABD+ADE=EDC+ADE,

∴∠ABE=BED,∠BDE=ADC,

在△BDE和△ADC中,

∴△BDE≌△ADC,

∴∠BED=ACD,

∴∠ACD=ABE

∴∠ACD+EBC=ABE+EBC=ABD=60°,

∴∠BPC=180°-(∠ACD+EBC=120°

∴點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(含與點(diǎn)B、C重合)為的長,

OGBC,∠BGC=BPC=120°,

BF=BC=×8=4,∠OGB=BGC=60°

OB=OG,

∴△OBG是等邊三角形,

∴∠BOG=60°,

∴∠BOC=2BOG=120°,∠OBF=30°,

OF=OB,

OB2=OF2+BF2,即OB2=(OB)2+(4)2,

解得OB=8,(負(fù)值舍去),

==

故答案為:

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【題目】如圖:ABO的直徑,ACOGEAG上一點(diǎn),D為△BCE內(nèi)心,BEADF,且∠DBE=∠BAD

(1)求證:BCO的切線;

(2)求證:DFDG

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【題目】如圖,二次函數(shù)yax2+bx+ca≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OC2OB則下列結(jié)論:①abc0;②a+b+c0;③ac2b+40;④OAOB,其中正確的結(jié)論有( 。

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【題目】如圖1,在△ABC中,∠BAC90°,ABAC,DBC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)BC重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC.

(1)如圖1,通過圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AD_____,∠DAE_____.

(解決問題)

(2)如圖1,證明BCDC+EC;

(拓展延伸)

如圖2,在△ABC中,∠BAC90°ABAC,D為△ABC外一點(diǎn),且∠ADC45°,仍將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,ED.

(3)AD6,CD3,求BD的長.

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【題目】廣西“稻魚綜合養(yǎng)殖”符合生態(tài)養(yǎng)殖,綠色發(fā)展.某稻魚綜合養(yǎng)殖戶計(jì)劃購買甲,乙兩種禾花魚魚苗,經(jīng)調(diào)查,得到以下信息:

購買重量小于40 kg

購買重量不小于40 kg

甲魚苗

原價(jià)銷售

打七折銷售

乙魚苗

原價(jià)銷售

打八折銷售

如果購買10 kg的甲魚苗和5 kg的乙魚苗需用700元,如果購買20 kg的甲魚苗和15 kg的乙魚苗需用1600元.

1)甲魚苗和乙魚苗的單價(jià)各是多少元?

2)現(xiàn)決定購買甲,乙兩種魚黃共90 kg,其中,乙魚苗的重量不大于甲魚苗重量的2倍,設(shè)購買甲魚苗a kg),求該養(yǎng)殖戶購買這批魚苗的總費(fèi)用Wa之間的函數(shù)解析式;

3)在(2)的條件下,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種購買方案,使所需總費(fèi)用最低,并求出最低總費(fèi)用.

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【題目】如圖,AB為⊙O直徑,PA、PC分別與⊙O相切于點(diǎn)AC,PEPAPEOC的延長線于點(diǎn)E

1)求證:OEPE;

2)連接BC并延長交PE于點(diǎn)D,PAAB,且CE9,求PE的長.

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【題目】寶雞市某學(xué)校在“行讀石鼓閣”研學(xué)活動(dòng)中,參觀了我市中華石鼓園,石鼓閣是寶雞城市新地標(biāo).建筑面積7200平方米,為我國西北第一高閣.小亮想知道石鼓閣的高是多少,他和同學(xué)小明對(duì)石鼓閣進(jìn)行測(cè)量.測(cè)量方案如下:如圖,小明在小亮和“石鼓閣”之間的直線BM上平放一平面鏡,在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記,這個(gè)標(biāo)記在直線BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C,鏡子不動(dòng),小明看著鏡面上的標(biāo)記,他來回走動(dòng),走到點(diǎn)D時(shí),看到“石鼓閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合,這時(shí),測(cè)得小明眼睛與地面的高度ED1.6米,CD2.2米,然后,在陽光下,小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了29.6米,此時(shí)“石鼓閣”影子與小亮的影子頂端恰好重合,測(cè)得小亮身高1.6米,影長FH3.2米.已知ABBM,EDBMGFBM,其中,測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì),請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息,求出“石鼓閣”的高AB的長度.

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