Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（m﹣2）x﹣＝0．

（1）求證：無論m為何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根．

（2）設方程的兩實數(shù)根為x1，x2，且滿足（x1+x2）2＝|x1|﹣|x2|+2，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）m的值為m＝4或m＝1或m＝0或m＝3．

【解析】

（1）根據(jù)判別式△＝2（m﹣1）2+2＞0，即可得到結果；

（2）由于x1x2＝﹣≤0，可得x1，x2不同號，再分兩種情況討論可求m的值．

解：（1）∵△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4（﹣）＝2m2﹣4m+4＝2（m﹣1）2+2＞0，

∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）∵x1x2＝﹣≤0，

∴x1，x2至少有一個為0或不同號，

當x2＜0，∵（x1+x2）2＝|x1|﹣|x2|+2，

∴（x1+x2）2＝x1+x2+2，

∴x1+x2＝2，或x1+x2＝﹣1，

∴m﹣2＝2，或m﹣2＝﹣1，

∴m＝4，或m＝1；

當x1＜0時，∵（x1+x2）2＝|x1|﹣|x2|+2，

∴（x1+x2）2＝﹣x1﹣x2+2，

∴x1+x2＝﹣2，或x1+x2＝1

∴m﹣2＝﹣2，或m﹣2＝1，

∴m＝0，或m＝3．

故m的值為m＝4或m＝1或m＝0或m＝3．