已知拋物線的頂點為點D,并與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸相交于點C.

(1)求點A、B、C、D的坐標(biāo);
(2)在y軸的正半軸上是否存在點P,使以點P、O、A為頂點的三角形與△AOC相似?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)取點E(,0)和點F(0,),直線l經(jīng)過E、F兩點,點G是線段BD的中點.
①點G是否在直線l上,請說明理由;
②在拋物線上是否存在點M,使點M關(guān)于直線l的對稱點在x軸上?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解:(1)在中,令y=0,則,整理得,4x2﹣12x﹣7=0,
解得x1=,x2=!郃(,0),B(,0)。
中,令x=0,則y= !郈(0,)。
,∴頂點D(,﹣4)。
(2)在y軸正半軸上存在符合條件的點P。
設(shè)點P的坐標(biāo)為(0,y),
∵A(,0),C(0,),∴OA=,OC=,OP=y,
①若OA和OA是對應(yīng)邊,則△AOP∽△AOC,∴!鄖=OC=,此時點P(0,)。
②若OA和OC是對應(yīng)邊,則△POA∽△AOC,∴,即。
解得y=,此時點P(0,)。
綜上所述,符合條件的點P有兩個,P(0,)或(0,)。
(3)①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b(k≠0),
∵直線l經(jīng)過點E(,0)和點F(0,),
,解得,
∴直線l的解析式為。
∵B(,0),D(,﹣4),
,∴線段BD的中點G的坐標(biāo)為(,﹣2)。
當(dāng)x=時,,∴點G在直線l上。
②在拋物線上存在符合條件的點M。

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點為H,則點H的坐標(biāo)為(,0),
∵E(,0)、F(0,),B(,0)、D(,﹣4),
∴OE=,OF=,HD=4,HB==2。
,∠OEF=∠HDB,
∴△OEF∽△HDB!唷螼FE=∠HBD。
∵∠OEF+∠OFE=90°,∴∠OEF+∠HBD=90°。
∴∠EGB=180°﹣(∠OEF+∠HBD)
=180°﹣90°=90°,
∴直線l是線段BD的垂直平分線。
∴點D關(guān)于直線l的對稱點就是點B。
∴點M就是直線DE與拋物線的交點。
設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n,
∵D(,﹣4),E(,0),
,解得。
∴直線DE的解析式為。
聯(lián)立,解得,
∴符合條件的點M有兩個,是(,﹣4)或(,)。

解析試題分析:(1)令y=0,解關(guān)于x的一元二次方程求出A、B的坐標(biāo),令x=0求出點C的坐標(biāo),再根據(jù)頂點坐標(biāo)公式計算即可求出頂點D的坐標(biāo)。
(2)根據(jù)點A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長,再分OA和OA是對應(yīng)邊,OA和OC是對應(yīng)邊兩種情況,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OP的長,從而得解。
(3)①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b(k≠0),利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式,再利用中點公式求出點G的坐標(biāo),然后根據(jù)直線上點的坐標(biāo)特征驗證即可。
②設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點為H,求出OE、OF、HD、HB的長,然后求出△OEF和△HDB相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD,然后求出EG⊥BD,從而得到直線l是線段BD的垂直平分線,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點D關(guān)于直線l的對稱點就是B,從而判斷出點M就是直線DE與拋物線的交點。再設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n,利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式,然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點M。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,點A(0,4),C(2,0),將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)1350,得到矩形EFGH(點E與O重合).

(1)若GH交y軸于點M,則∠FOM=      ,OM=        ;
(2)矩形EFGH沿y軸向上平移t個單位.
①直線GH與x軸交于點D,若AD∥BO,求t的值;
②若矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為S個平方單位,試求當(dāng)0<t≤時,S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知,如圖(a),拋物線經(jīng)過點A(x1,0),B(x2,0),C(0,-2),其頂點為D.以AB為直徑的⊙M交y軸于點E、F,過點E作⊙M的切線交x軸于點N。∠ONE=30°,。

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);
(2)連結(jié)AD、BD,在(1)中的拋物線上是否存在一點P,使得△ABP與△ADB相似?若存在,求出P點的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)如圖(b),點Q為上的動點(Q不與E、F重合),連結(jié)AQ交y軸于點H,問:AH·AQ是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線經(jīng)過A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三點,其頂點為D,對稱軸是直線l,l與x軸交于點H.

(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點,求△PBC周長的最小值;
(3)如圖(2),若E是線段AD上的一個動點( E與A、D不重合),過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F,交x軸于點G,設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m,△ADF的面積為S.
①求S與m的函數(shù)關(guān)系式;
②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此時點E的坐標(biāo); 若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點C(0,1),頂點為Q(2,3),點D在x軸正半軸上,且OD=OC.

(1)求直線CD的解析式;
(2)求拋物線的解析式;
(3)將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點E,求證:△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的條件下,若點P是線段QE上的動點,點F是線段OD上的動點,問:在P點和F點移動過程中,△PCF的周長是否存在最小值?若存在,求出這個最小值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在直角梯形AOCB中,AB∥OC,∠AOC=90°,AB=1,AO=2,OC=3,以O(shè)為原點,OC、OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系.拋物線頂點為A,且經(jīng)過點C.點P在線段AO上由A向點O運動,點O在線段OC上由C向點O運動,QD⊥OC交BC于點D,OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E.

(1)求拋物線的解析式;
(2)點E′是E關(guān)于y軸的對稱點,點Q運動到何處時,四邊形OEAE′是菱形?
(3)點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發(fā),運動的時間為t秒,當(dāng)t為何值時,PB∥OD?

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已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)是(1,4),它與直線y2=x+1的一個交點的橫坐標(biāo)為2.

(1)求拋物線的解析式;
(2)在給出的坐標(biāo)系中畫出拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)及直線y2=x+1的圖象,并根據(jù)圖象,直接寫出使得y1≥y2的x的取值范圍;
(3)設(shè)拋物線與x軸的右邊交點為A,過點A作x軸的垂線,交直線y2=x+1于點B,點P在拋物線上,當(dāng)SPAB≤6時,求點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(2013年浙江義烏10分)小明合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換.如圖△ABC,△DEF均為等腰直角三角形,各頂點坐標(biāo)分別為A(1,1),B(2,2),C(2,1),D(,0),E(, 0),F(xiàn)().
(1)他們將△ABC繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)450得到△A1B1C.請你寫出點A1,B1的坐標(biāo),并判斷A1C和DF的位置關(guān)系;
(2)他們將△ABC繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)450,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上.請你求出符合條件的拋物線解析式;
(3)他們繼續(xù)探究,發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個點旋轉(zhuǎn)45,若旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上,則可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點P的坐標(biāo).請你直接寫出點P的所有坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點A(,0)和點B(1,),與x軸的另一個交點為C.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點D在對稱軸的右側(cè),x軸上方的拋物線上,且∠BDA=∠DAC,求點D的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,連接BD,交拋物線對稱軸于點E,連接AE.
①判斷四邊形OAEB的形狀,并說明理由;
②點F是OB的中點,點M是直線BD的一個動點,且點M與點B不重合,當(dāng)∠BMF=∠MFO時,請直接寫出線段BM的長.

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