【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),B(1,0),與y軸交于點(diǎn)D(0,4),點(diǎn)C(2,n)也在此拋物線上.

(1)求此拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)設(shè)BC交y軸于點(diǎn)E,連接AE,AC請(qǐng)判斷ACE的形狀,并說(shuō)明理由;

(3)連接AD交BC于點(diǎn)F,試問(wèn):以A,B,F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)、y=x23x+4;C(-2,6);(2)、等腰直角三角形;理由見(jiàn)解析;(3)、相似;理由見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析:(1)、由A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式,把C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求得n的值,可求得C點(diǎn)坐標(biāo);(2)、把C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得n,可得C點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式,則可求得E點(diǎn)坐標(biāo),利用勾股定理可求得AC、AE、CE的長(zhǎng),則可判斷ACE的形狀;(3)、由A、D坐標(biāo)可先求得直線AD解析式,聯(lián)立直線BC、AD解析式可求得F點(diǎn)坐標(biāo),又可求得BF、BC和AB的長(zhǎng),由題意可知ABF=CAB,若以A,B,F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似只有BFA=CAB,則判定是否相等即可.

試題解析:(1)、拋物線經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn),

代入拋物線解析式可得,解得, 拋物線y=x23x+4,

點(diǎn)C(2,n)也在此拋物線上, n=4+6+4=6, C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6);

(2)、ACE為等腰直角三角形,理由如下: 設(shè)直線BC解析式為y=kx+s,

把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得,解得, 直線BC解析式為y=2x+2,

令x=0可得y=2, E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2), A(4,0),C(2,6),

AC===2,AE===2,CE===2,

AE2+CE2=20+20=40=AC2,且AE=CE, ∴△ACE為等腰直角三角形;

(3)、相似,理由如下: 設(shè)直線AD解析式為y=px+q,

把A、D坐標(biāo)代入可得,解得 直線AD解析式為y=x+4,

聯(lián)立直線AD、BC解析式可得,解得, F點(diǎn)坐標(biāo)為(,),

BF==,BC==3,且AB=14)=5,

==, ==, =,且BFA=CAB, ∴△ABF∽△CBA.

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反饋意見(jiàn)偏向不滿意

非常滿意

29

非常不滿意

5

滿意

46

不滿意

20

有一點(diǎn)滿意

15

有一點(diǎn)不滿意

15

共計(jì)

90

共計(jì)

40

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