Question

1．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，等腰直角△AEF的直角頂點(diǎn)E在直線(xiàn)BC上（不與點(diǎn)B，C重合），F(xiàn)M⊥AD，交射線(xiàn)AD于點(diǎn)M．

（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)M在邊AD上時(shí)，如圖1，求證：BE+AM=AB；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)M在邊AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，設(shè)BE=x，AM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)定義域；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)M在邊AD上時(shí)，如圖3．如果∠AFM=15°，求AM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)證明△ABE≌△ENF，得到AB=EN，證明結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論得到AB=EH=5，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AM=BH=y，得到答案；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和已知得到∠EFG=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算即可．

解答 （1）證明：設(shè)FM交邊BC于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠NEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠NEF
∵FM⊥AD，
∴FM⊥BC，
∴∠ENF=90°，
∴∠ABE=∠ENF，
在△ABE和△ENF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠NEF}\\{∠ABE=∠ENF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ENF
∴AB=EN，
∵∠ABC=∠BNM=∠NMA=90°，
∴四邊形ABNM是矩形，
∴AM=BN，
∵EN=BE+BN，
∴AB=BE+AM；
（2）延長(zhǎng)MF交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，由（1）得AB=EH=5，
∵∠MAB=∠ABH=∠AMH=90°，
∴四邊形ABHM是矩形，
∴AM=BH=y，
∵BH=BE+EH，BE=x，
∴y=x+5（0＜x＜5）；
（3）設(shè)FM交邊BC于點(diǎn)G，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE=45°，
∵∠AFM=15°，
∴∠EFG=30°，
∴∠AEB=∠EFG=30°，
在Rt△ABE中，AB=5，∠AEB=30°，
∴AE=10，BE=$5\sqrt{3}$5$\sqrt{3}$，
∵△ABE≌△EGF，
∴AB=EG=5
∴BG=$5\sqrt{3}-5$5$\sqrt{3}$-5，
∵∠MAB=∠ABC=∠GMA=90°
∴四邊形ABGM是矩形，
∴AM=BG，
∴AM=$5\sqrt{3}-5$5$\sqrt{3}$-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的求法，掌握正方形的性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．