Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=2cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→A運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止，連接BQ、CP相交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．

（1）AP= （用含x的式子表示）；

（2）求證：△ACP≌△CBQ；

（3）求∠PDB的度數(shù)；

（4）當(dāng)CP⊥AB時(shí)，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】（1）x；（2）見(jiàn)解析（3）∠PDB=60°．（4）x=1．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，得到AP=x；

（2）利用SAS證明△ACP≌△CBQ；

（3）由△ACP≌△CBQ，得到∠ACP=∠QCB，利用外角的性質(zhì)∠PDB=∠DBC+∠DCB，即可解答；

（4）當(dāng)CP⊥AB時(shí)，則點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，所以AP=AB=1cm，則x=1．

解：（1）∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，

∴AP=x，

故答案為：x．

（2）∵動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→A運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止，

∴AP=CQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=CB，∠A=∠ACB=60°，

在△ACP和△CBQ中，

，

∴△ACP≌△CBQ．

（3）∵△ACP≌△CBQ，

∴∠ACP=∠QCB，

∵∠PDB=∠DBC+∠DCB，

∴∠PDB=∠DCB+∠ACP=∠ACB=60°．

（4）當(dāng)CP⊥AB時(shí)，則點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，

∴AP=AB=1cm，

∴x=1．