Question

如圖，分別取反比例函數(shù) 圖象的一支，等腰中Rt△AOB中，OA⊥OB，OA=OB=2，AB交y軸于C，∠AOC=60°

（1）將△AOC沿y軸折疊得△DOC，試判斷D點是否存在的圖象上，并說明理由．
（2）連接BD，求S_{四邊形OCBD}．
（3）若將直線OB向上平移，分別交于E點，交于F點，在向上平移過程中，是否存在某一時刻使得EF=2？若存在，試求此時直線EF的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別過點A、B作AE⊥x軸于點E，BF⊥y軸與F，由∠AOC=60°可知∠AOE=30°，再由OA=2，可求出AE、OE的長，故可得出A點坐標，進而得出k₂的值，同理可求出k₁的值，再由A、D關于y軸對稱可得出D電1坐標代入進行檢驗即可；
（2）過點B作BP⊥OD于點P，由圖形反折變換的性質可知△AOC≌△DCO，故∠AOC=∠DOC=60°，進而可判斷出OB是∠DOF的平分線，所以BP=BF，由全等三角形的判定定理可知△BDP≌△BCF，故S_△BDP=S_△BCF，同理可得Rt△OPB≌Rt△OFB，故S_{四邊形OCBD}=2S_△OFB；
（3）根據(jù)點E在反比例函數(shù)y=-的圖象上可設出E點坐標為（a，-），由平行四邊形的性質可用a表示出出B，F(xiàn)兩點的坐標，再根據(jù)點F在反比例函數(shù)y=的圖象上可得到關于a的一元二次方程，求出a的值可知E、F兩點的坐標，再用待定系數(shù)法求出直線F的解析式即可．
解答：解：（1）如圖1，分別過點A、B作AE⊥x軸于點E，BF⊥y軸與F，
∵∠AOC=60°，
∴∠AOE=90°-60°=30°，
∵OA=2，
∴AE=1，OE=，
∴A（-，1），
∴k₂=-，
同理可得，k₁=，
∴y=，
∵A、D關于y軸對稱，
∴D（，1），代入y=成立，
∴D點是否存在的圖象上；


（2）過點B作BP⊥OD于點P，
∵△AOC≌△DCO，
∴∠AOC=∠DOC=60°，
∵∠BOF=30°，
∴∠BOP=30°，
∴OB是∠DOF的平分線，
∴BP=BF，
∵∠COA=60°，∠OAC=45°，
∴∠OCA=∠FCB=75°，
∵∠BOD=30°，OA=OB，OA=OD，
∴OB=OD，
∴∠BDP=75°，
∴∠BDP=∠BCF，
∴∠DBP=∠CBF，
在△BDP與△BCF中，
∵，
∴△BDP≌△BCF，
∴S_△BDP=S_△BCF，
在Rt△OPB與Rt△OFB中，
∵，
∴Rt△OPB≌Rt△OFB，
∴S_{四邊形OCBD}=2S_△OFB=2×××1=；

（3）∵點E在反比例函數(shù)y=-的圖象上，
∴設E（a，-）（a＜0），
∵EF∥OB，EF=OB=2，
∴四邊形OBFE是平行四邊形，
∵O（0，0），
∴B（1，），F(xiàn)（a+1，+），
∵點F在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴（a+1）（-+）=，
∴a²-a-1=0，
∴a₁=（舍去），a₂=，
∴E（，-），F(xiàn)（，），
設過EF兩點的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直線EF的解析式為：y=x+-．
點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)的性質等相關知識，難度較大．