【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點,其頂點為D,連接BD,點是線段BD上一個動點(不與B、D重合),過點P作y軸的垂線,垂足為E,連接BE.
(1)求拋物線的解析式,并寫出頂點D的坐標(biāo);
(2)如果P點的坐標(biāo)為(x,y),△PBE的面積為,求S與x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取得最大值時,過點P作x的垂線,垂足為F,連接EF,把△PEF沿直線EF折疊,點P的對應(yīng)點為P′,請直接寫出P′點坐標(biāo),并判斷點P′是否在該拋物線上.
【答案】(1)頂點D的坐標(biāo)為(1,4);(2)當(dāng)時, S取得最大值,最大值為;(3)把P′坐標(biāo)()代入拋物線解析式,不成立,所以不在拋物線上.
【解析】
(1)根據(jù)A,B,C三點的坐標(biāo),可以運用交點式法求得拋物線的解析式.再根據(jù)頂點的坐標(biāo)公式求得拋物線的頂點坐標(biāo);
(2)根據(jù)B,D的坐標(biāo)運用待定系數(shù)法求得直線BD的解析式,再根據(jù)三角形的面積公式以及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式得到s與x之間的函數(shù)關(guān)系式.點P的橫坐標(biāo)即x的值位于點D和點B的橫坐標(biāo)之間.根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即可分析其最值;
(3)根據(jù)(2)中的坐標(biāo)得點E和點C重合.過P′作P′H⊥y軸于H,P′F交y軸于點M.要求P′H和OH的長.P′H的長可以運用直角三角形P′CM的面積進(jìn)行計算.設(shè)MC=m,則MF=m,P′M=3m,P′E=32.根據(jù)勾股定理列方程求解,得到直角三角形P′CM的三邊后,再根據(jù)直角三角形的面積公式進(jìn)行計算.要求OH的長,已知點C的坐標(biāo),只需根據(jù)勾股定理進(jìn)一步求得CH的長即可.把求得的點P的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可判斷點P′是否在該拋物線上.
(1)設(shè),
把代入,得,
∴拋物線的解析式為:,
頂點的坐標(biāo)為;
(2)設(shè)直線解析式為:(),把兩點坐標(biāo)代入,
得
解得,
∴直線解析式為,
,
∴,
,
∴當(dāng)時,取得最大值,最大值為;
(3)當(dāng)取得最大值,,,
∴,
∴四邊形是矩形,
作點關(guān)于直線的對稱點,連接,
法一:過作軸于,交軸于點,
設(shè),則,
在中,由勾股定理,
,
解得,
∵,
∴,
由,可得,,
∴,
∴坐標(biāo);
法二:連接,交于點,分別過點作的垂線,垂足為,
易證,
∴,
設(shè),則,
∴,,
由三角形中位線定理,
,
∴,即,
,
∴坐標(biāo).
把坐標(biāo)代入拋物線解析式,不成立,所以不在拋物線上.
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【題目】如圖,在△ABC中,E為AC的中點,AD平分∠BAC,BA:CA=2:3,AD與BE相交于點O,若△OAE的面積比△BOD的面積大1,則△ABC的面積是( 。
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
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【題目】如圖,AD是Rt△ABC斜邊BC上的高.
(1)尺規(guī)作圖:作∠C的平分線,交AB于點E,交AD于點F(不寫作法,必須保留作圖痕跡,標(biāo)上應(yīng)有的字母);
(2)在(1)的條件下,過F畫BC的平行線交AC于點H,線段FH與線段CH的數(shù)量關(guān)系如何?請予以證明;
(3)在(2)的條件下,連結(jié)DEDH.求證:ED⊥HD.
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【題目】甲、乙兩同學(xué)只有一張乒乓球比賽的門票,誰都想去,最后商定通過轉(zhuǎn)盤游戲決定.游戲規(guī)則是:轉(zhuǎn)動下面平均分成三個扇形且標(biāo)有不同顏色的轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤連續(xù)轉(zhuǎn)動兩次,若指針前后所指顏色相同,則甲去;否則乙去.(如果指針恰好停在分割線上,那么重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向一種顏色為止)
(1)轉(zhuǎn)盤連續(xù)轉(zhuǎn)動兩次,指針?biāo)割伾灿袔追N情況?通過畫樹狀圖或列表法加以說明;
(2)你認(rèn)為這個游戲公平嗎?請說明理由.
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【題目】如圖,已知動點A在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,AB⊥x軸于點B,AC⊥y軸于點C,延長CA至點D,使AD=AB,延長BA至點E,使AE=AC,直線DE分別交x軸,y軸于點P,Q,當(dāng)QE:DP=9:25時,圖中的陰影部分的面積等于___.
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【題目】直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0),以點A為圓心畫圓,點M(4,4)在⊙A上,直線y=﹣x+b過點M,分別交x軸、y軸于B、C兩點.
(1)①填空:⊙A的半徑為 ,b= .(不需寫解答過程)
②判斷直線BC與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)若EF切⊙A于點F分別交AB和BC于G、E,且FE⊥BC,求的值.
(3)若點P在⊙A上,點Q是y軸上一點且在點C下方,當(dāng)△PQM為等腰直角三角形時,直接寫出點Q的坐標(biāo).
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【題目】近年來,新能源汽車以其舒適環(huán)保、節(jié)能經(jīng)濟(jì)的優(yōu)勢受到熱捧,隨之而來的就是新能汽車銷量的急速增加,當(dāng)前市場上新能漂汽車從動力上分純電動和混合動力兩種,從用途上又分為乘用式和商用式兩種,據(jù)中國汽車工業(yè)協(xié)會提供的信息,2017年全年新能源乘用車的累計銷量為57.9萬輛,其中,純電動乘用車銷量為46.8萬輛,混合動力乘用車銷量為11.1萬輛; 2017年全年新能源商用車的累計銷量為19.8萬輛,其中,純電動商用車銷量為18.4萬輛,混合動力商用車銷量為1.4萬輛,請根據(jù)以上材料解答下列問題:
(1)請用統(tǒng)計表表示我國2017年新能源汽車各類車型銷量情況;
(2)小穎根據(jù)上述信息,計算出2017年我國新能源各類車型總銷量為77.7萬輛,并繪制了“2017年我國新能源汽車四類車型銷量比例”的扇形統(tǒng)計圖,如圖1,請你將該圖補充完整(其中的百分?jǐn)?shù)精確到0.1%);
(3)2017年我國新能源乘用車銷量最高的十個城市排名情況如圖2,請根據(jù)圖2中信息寫出這些城市新能源乘用車銷售情況的特點(寫出一條即可);
(4)數(shù)據(jù)顯示,2018年1~3月的新能源乘用車總銷量排行榜上位居前四的廠家是比亞迪、北汽、上汽、江準(zhǔn),參加社會實踐的大學(xué)生小王想對其中兩個廠家進(jìn)行深入調(diào)研,他將四個完全相同的乒乓球進(jìn)行編號(用“1,2,3,4”依次對應(yīng)上述四個廠家),并將乒乓球放入不透明的袋子中攪勻,從中一次拿出兩個乒乓球,根據(jù)乒乓球上的編號決定要調(diào)研的廠家.求小王恰好調(diào)研“比亞迪”和“江淮”這兩個廠家的概率.
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【題目】定義:如果一條線段將一個三角形分成2個小等腰三角形,我們把這條線段叫做這個三角形的“好線”:如果兩條線段將一個三角形分成3個小等腰三角形,我們把這兩條線段叫做這個三角形的“好好線”.
理解:
(1)如圖1,在中,,點在邊上,且,求的大;
(2)在圖1中過點作一條線段,使,是的“好好線”;
在圖2中畫出頂角為的等腰三角形的“好好線”,并標(biāo)注每個等腰三角形頂角的度數(shù)(畫出一種即可);
應(yīng)用:
(3)在中,,和是的“好好線”,點在邊上,點在邊上,且,,請求出的度數(shù).
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