Question

△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O是BC的中點，小敏拿著含45°角的透明三角板，使45°角的頂點落在點O，三角板繞O點旋轉．
（1）如圖（a），當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時，求證：△BOE∽△CFO；
（2）操作：將三角板繞點O旋轉到圖（b）情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于E、F．①探索：△BOE與△CFO還相似嗎？（只需寫結論）：連接EF，△BOE與△OFE是否相似？請說明理由．②設EF=x，△EOF的面積是S，寫出S與x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）找出△BOE與△CFO的對應角，其中∠BOE+∠COF=135°，∠COF+∠CFO=135°，得出∠BOE=∠CFO，從而解決問題；
（2）①小題同前可證，②小題可通過對應邊成比例證明．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BOE+∠BEO=180°，
∴∠BOE+∠BEO=135°，
∵∠EOF=45°，
又∵∠BOE+∠EOF+∠COF=180°，
∴∠BOE+∠COF=135°，
∴∠BEO=∠COF，
又∵∠B=∠C，
∴△BOE∽△CFO（兩角對應相等的兩個三角形相似）．

（2）解：①△BOE∽△CFO；②△BOE與△OFE相似．
證明：同（1），可證△BOE∽△CFO，
得 CO：BE=OF：OE，
而CO=BO，
因此 OB：BE=OF：OE．
又因為∠EBO=∠EOF，
所以△BOE∽△OFE（兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似）．
②△ABC為等腰直角三角形，且AB=AC=2，O為BC中點，
∴BO=

2

．
設EO=y，
∵△BOE∽△OFE，
∴

EO

BE

=

FO

BO

=

FE

EO

，
即

y

BE

=

FO

2

=

x

y

，
解得：FO=

2 x

y

，
則S_△EOF=

1

2

•sin45°•EO•FO=

2

4

•EO•FO．
∵EO•FO=

2

x．
∴S=

1

2

x．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定．它以每位學生都有的三角板在圖形上的運動為背景，既考查了學生圖形旋轉變換的思想，靜中思動，動中求靜的思維方法，又考查了學生動手實踐、自主探究的能力．