Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為a，射線AM是∠A外角的平分線，點E在邊AB上運動(不與點A、B重合)，點F在射線AM上，且AF=√2BE，CF與AD相交于點G，連結(jié)EC、EF、EG．

（1）求證：CE=EF；

（2）求△AEG的周長(用含a的代數(shù)式表示)

（3）試探索：點E在邊AB上運動至什么位置時，△EAF的面積最大?

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2a；（3）點在邊中點時，最大，最大值為

【解析】

（1）過點作于點，依據(jù)SAS證明，即可求證；

（2）先在（1）的基礎上繼續(xù)證明是等腰直角三角；把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至位置，即可證明（SAS），從而得到，繼而得到△AEG的周長；

（3）設，由（1）得，建立二次函數(shù)，即可求出最值.

（1）證明：如圖，過點作于點，則

平分，

是等腰直角三角形，

，，

，

又

（2）

又在中，

由（1）知，

是等腰三角形，

把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至位置，如圖所示．

，，

，

又

（SAS）

（3）設，由（1）得

則

當，即點在邊中點時，最大，最大值為．