【題目】如圖,P為正方形ABCD的邊BC上一動點(diǎn)(PB、C不重合),連接AP,過點(diǎn)BBQAPCD于點(diǎn)Q,將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC′,延長QC′BA的延長線于點(diǎn)M

(1)試探究APBQ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(2)當(dāng)AB=3BP=2PC,求QM的長;

(3)當(dāng)BP=m,PC=n時(shí),求AM的長.

【答案】(1)AP=BQ;(2)QM的長為;(3)AM的長為

【解析】

(1)要證AP=BQ,只需證PBA≌△QCB即可;

(2)過點(diǎn)QQHABH,如圖.易得QH=BC=AB=3,BP=2,PC=1,然后運(yùn)用勾股定理可求得AP(BQ)=,BH=2.易得DCAB,從而有∠CQB=QBA.由折疊可得∠C′QB=CQB,即可得到∠QBA=C′QB,即可得到MQ=MB.設(shè)QM=x,則有MB=x,MH=x-2.在RtMHQ中運(yùn)用勾股定理就可解決問題;

(3)過點(diǎn)QQHABH,如圖,同(2)的方法求出QM的長,就可得到AM的長.

解:(1)AP=BQ

理由:∵四邊形ABCD是正方形,

AB=BC,∠ABC=C=90°,

∴∠ABQ+CBQ=90°

BQAP,

∴∠PAB+QBA=90°,

∴∠PAB=CBQ

PBAQCB中,

,

∴△PBA≌△QCB,

AP=BQ;

(2)過點(diǎn)QQHABH,如圖.

∵四邊形ABCD是正方形,

QH=BC=AB=3

BP=2PC,

BP=2PC=1,

BQ=AP===,

BH===2

∵四邊形ABCD是正方形,

DCAB,

∴∠CQB=QBA

由折疊可得∠C′QB=CQB

∴∠QBA=C′QB,

MQ=MB

設(shè)QM=x,則有MB=x,MH=x-2

RtMHQ中,

根據(jù)勾股定理可得x2=(x-2)2+32,

解得x=

QM的長為;

(3)過點(diǎn)QQHABH,如圖.

∵四邊形ABCD是正方形,BP=m,PC=n

QH=BC=AB=m+n

BQ2=AP2=AB2+PB2,

BH2=BQ2-QH2=AB2+PB2-AB2=PB2,

BH=PB=m

設(shè)QM=x,則有MB=QM=x,MH=x-m

RtMHQ中,

根據(jù)勾股定理可得x2=(x-m)2+(m+n)2,

解得x=m+n+

AM=MB-AB=m+n+-m-n=

AM的長為

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